Salut,

Voilà aujourd'hui un ami m'a posé une énigme : trouve le chiffre de la millième décimale de ln(5). (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Je ne sais pas si c'est possible par une astuce ou s'il s'est moqué de moi... En tout cas je n'ai pas trouvé donc à tout hasard je demande

Je pense qu'il faut commencé par ça
Soit A ce nombre
A = E(10^1000 * ln(5)) = E(ln(5^10^1000))

(E = partie entière)

Mais bon...

je suppose que les calculatrices de lycée ne sont pas capables de donner 1000 décimales mais tu pourrais essayer avec un ordinateur

par contre faut trouver un programme qui fait ça...

à tout hasard : la calculatrice de windows

Non Mapple le fait mais ce qu'il faut c'est trouver une astuce pour le trouver

tu ne peut pas décomposer un nombre du genre ln(a) ?
bon, c'est juste une suggestion, je ne connais pas vraiment ça, je sais juste que ln(e^a)=a, c'est un logarithme de base naturelle

Si ça vous interesse
10^1000 * ln(5) = 16094,379124341003746007593332262

La réponse était 4, mais bon j'ai eu besoin de la calculette windows...
Je pense que l'astuce était juste de faire ln(5^10^1000) en fait...

ça ne résout pas le problème de la résolution sans calculatrice ! demande à ton ami si c'est possible, et qu'il te montre comment faire

Non mais c'était ça j'en suis certain maintenant, il suffisait de connaître une propriété du logarithme népérien et de savoir comment exprimer la décimale n° 1000 (Partie entière du ln * 10^1000 en fait)

alors demande si c'est ça

J'ai mal dû comprendre ta question à en voir ta réponse.
Je croyais que tu cherchais le millième chiffre derrière la virgule.
Mais en faite j'ai pas bien compris non plus la réponse , car chez moi 10^1000*ln(5) n'a jamais fait 16094,379.. , ca ressemble plus à du 10*1000*ln(5) ce résultat, pour obtenir donc le 4eme chiffre après la virgule.(le dixmillième)

Déjà en sachant que e est irrationnel et transcendant comme Pi , trouver le millième chiffre derrière la virgule de manière simple me parait insencé

Il faudrait faire l'approximation à un ordre assez grand pour trouver ce millième chiffre.
En utilisant la limite avec les factorielles on peux determiner à combien on peut la restreindre pour obtenir tant de chiffres exacts , sur le net on peux trouver des solutions pratique à ce sujet , on m'a indiqué 450 termes factoriels dans la somme ..
Exemple de programme : http://serge.mehl.free.fr/anx/e300_deci.html
Ca reste quand même lourd pour repondre à une "énigme"
Et ca repond pas vraiment aux logarithme mais ca en y est proche.

Non 16094... est bien le résultat de ln(5^10^1000) soit 10^1000 * ln(5)
car ln(x^a) = a*ln(x)

Et puis multiplier par 10^n un nombre donne toujours la nième décimale

Je vais peut être passé pour un nul, mais j'aimerais qu'on m'explique un truc.
Pourquoi quand tu cherche le millième décimal, tu multiplie par 10^1000 et non par 1000 ?

Bah regarde :
X = 16.3645215421

Si tu fais X * 1000 = X * 10^3 tu as 16364.5215421 c'est à dire 3 décimales plus loin.

D'ailleurs je me suis trompé ce n'est pas la partie entière mais le nombre des unités

Donc x * 10^1000 donnera de même la 1000eme décimale

car ln(x^a) = a*ln(x)

Effectivement, mais tu as dû avoir un problème de parenthèses lors de ton calcul(sur ces maudites calculettes).
Tu devrais calculer normalement "ln(5^(10^1000)" non? et ca, ca fait pas "16094,.." cela fait un petit peu-beaucoup plus.
D'ailleurs avec l'égalité que tu as donné ca nous le montre bien :: "(10^1000)*ln(5)" , avec "ln(5)" à environ "1.6", ce résultat est multiplié par .. "10^1000" , soit beaucoup plus que "16094,.. "

En faite sans les parenthèses, les calculettes calcul en premier "5^10" puis seulement "^1000) , ca reviendrais à du "ln((5^10)^1000)" qui vaut bel et bien "16094,.."

J'espère avoir été assez clair

Ce que je comprends pas c'est que 5¹⁰¹⁰⁰⁰ = 5¹⁰⁰⁰⁰ non ?

non, c'est 5^10*1000 qui est égale à 5¹⁰⁰⁰⁰ ou encore 5¹⁰⁴
5¹⁰¹⁰⁰⁰ c'est plus du 5^{100000000000000000000000000000....00} (1 avec 1000 zéros derriere)
La puissance est puissante.