Salut, voici quelques énoncés qui n'attendent qu'à être résolus.
J'offre une bouteille de champomy sans glaçon à celui qui les trouve tous

1/ Montrez que 1 598 478 648 846 413 n'est pas un carré parfait

Le nombre en question s'écrit 3 + 1*10 + 4*100 + 6*1000 etc... On peut donc travailler sur un modulo 10, pour que le nombre soit un carré il faudrait que n² soit congru à 3 modulo 10 (Mais ce n'est pas une condition suffisante pour prouver qu'il s'agit d'un carré).
Or
0²=0 (mod 10)
1²=1 (mod 10)
2²=4 (mod 10)
3²=9 (mod 10)
4²=16=6 (mod 10)
5²=25=5 (mod 10
6²=36=6 (mod 10)
7²=49=9 (mod 10)
8²=64=4 (mod 10)
9²=81=1 (mod 10)

On voit bien que c'est impossible donc 1 598 478 648 846 413 n'est pas un carré parfait.

2/ Montrez qu'il ne peut exister éventuellement qu'un seul nombre premier tel que son logarithme naturel ln soit rationnel. Rappel : Un nombre rationnel peut s'écrire a/b avec a et b entiers

Soient p et q deux nombres premiers distincts tels que les logarithmes naturels soient rationnels. Le quotient des logarithmes est donc également rationnel.

avec a et b entiers non nuls

On a alors ln(p)*b = ln(q)*a
<=> ln(p^b) = ln(q^a) <=> p^b = q^a car ln est une bijection de R*+ vers R.
Or p et q sont premiers on a donc une décomposition en facteur premier du même nombre !
Par unicité de la décomposition en facteurs premiers, a = b, absurde.


3/ Montrez qu'il existe une infinité de nombres premiers

Par l'absurde, supposons qu'il existe un nombre fini de nombres premiers.
Notons P cet ensemble

Soit N = p1*p2*p3*...*pn +1 , N >= 2 donc N admet un diviseur premier au moins, notons p ce diviseur.
p est donc inclus dans P, donc p est soit p1, soit p2, soit p3... soit pn
p divise donc p1*p2*p3*...*pn
Or p divise N donc p divise N - p1*p2*p3*...*pn donc p divise 1 ce qui est absurde .

4/ Montrez qu'il existe 11 nombres consécutifs non premiers et donner ces nombres

Voilà pour commencer Bon courage

est-ce faisable sans avoir fait la spécialité maths ?
en tout cas je ne vois même pas comment faire...
j'ai peut-être une petite idée pour le 2 mais je ne suis pas certain que ça marche (il faudrait trouver 3 équations pour résoudre un système à 3 inconnues)

hum... sans la spé maths le 2 est le seul qui peut être fait, le 3 aussi avec un peu de bon sens...
En fait tu peux tous les faire si tu as une logique implacable mais sans la spé ça parait difficile (sauf le 2)

Bon allez je donne la démonstration du 2 pour motiver peut être

Soient p et q deux nombres premiers tels que les logarithmes naturels soient rationnels. Le quotient des logarithmes est donc également rationnel.

avec a et b entiers non nuls

On a alors ln(p)*b = ln(q)*a
<=> ln(p^b) = ln(q^a) <=> p^b = q^a car ln est une bijection de R*+ vers R.
Or p et q sont premiers on a donc une décomposition en facteur premier du même nombre !
Par unicité de la décomposition en facteurs premiers, a = b = 0, absurde.

salut,

si ln(p) = ln(q) alors p = q (vu que la fonction qui à x associe ln(x) est strictement croissante sur son ensemble de définition)
du coup ça gène dans la démonstration avant même que tu mettes a et b en puissance de p et q...

de plus si ln(p) = ln(q), la fraction vaut 1, donc a = b (mais pourquoi = 0 ?)


aussi, je ne comprends pas ceci :

"General Vans" a dit:

Or p et q sont premiers on a donc une décomposition en facteur premier du même nombre !

Tu as raison j'ai modifié, sinon pour la phrase citée, tu sais qu'un nombre se décompose toujours en produit de facteurs premiers

Exemple : 38 = 2*7*7
Quand tu as deux nombres qui ont la même décomposition ils sont donc égaux

ok
merci pour cette précision
mais pourquoi p^b = q^a signifie qu'ils ont la même décomposition en facteurs premiers ?

il me semble que j'avais déjà entendu parler du n°4

je crois que c'est 11!+1 ; 11!+2 ; 11!+3 . . .
mais pour le démontrer je ne suis pas sûr

Guill@ume @ 26/06/2007 - 14h37 a dit:

ok
merci pour cette précision
mais pourquoi p^b = q^a signifie qu'ils ont la même décomposition en facteurs premiers ?

Bah tu as l'égalité puisqu'on y arrive par équivalence.
Or tu as que des nombres premiers avec des puissances entières, donc c'est une décomposition en facteur premier.
On a donc q = p et a = b

Pour 11TLP c'est la bonne réponse mais en effet il manque la preuve

pour la démonstration, c'est assez vague dans ma tête

edit :

General Vans a dit:

Voilà pour commencer

tu as l'intention de nous en sortir d'autres ?

Bah on ne sait jamais

General Vans @ 26/06/2007 - 18h29 a dit:

Guill@ume @ 26/06/2007 - 14h37 a dit:

ok
merci pour cette précision
mais pourquoi p^b = q^a signifie qu'ils ont la même décomposition en facteurs premiers ?

Bah tu as l'égalité puisqu'on y arrive par équivalence.
Or tu as que des nombres premiers avec des puissances entières, donc c'est une décomposition en facteur premier.
On a donc q = p et a = b

Pour 11TLP c'est la bonne réponse mais en effet il manque la preuve

C'est bon j'ai pigé ! (enfin   )
Merci GV

J'ai mis les réponses en blanc pour ceux qui veulent chercher encore, par contre le Latex ne se cache pas ... Enfin ça fera un indice

Bon j'en rajoute une :

Prouvez le principe de récurence en utilisant la démonstration suivante :

Soit X un sous ensemble de N tel que :
0 appartient à X
Pour tout n, si n appartient à X, n+1 appartient à X

Montrez que X = N, où N,l'ensemble des nombres entiers positifs, est supposé connu

par l'absurde on peut ?

puisque on commence par 0, comme on va de 1 en 1 on refait tout l'ensemble des entiers