Hypo-thèses - Quelques démonstrations niveau TS

RSS > Quelques démonstrations niveau TS, Et pourtant pas évidentes :)

11TLP	#31 09/11/2007 - 00h32
Hors ligne Courriel Mathématiques	Ou plutôt si : j'ai essayé avec la méthode coordonnées polaires -> coordonnées rectangulaires et ça donne : $e^{ai} + e^{bi}$ = sin(a)+sin(b)+(cos(a)+cos(b))i Et c'est merveilleux parce-que ça marche top 100 francophone, j'ai la flemme de m'inscrire en mondial
General Vans	#32 09/11/2007 - 07h29
Codeur Hors ligne Courriel Mathématiques	oui mais c'est pas factorisé
11TLP	#33 09/11/2007 - 19h52
Hors ligne Courriel Mathématiques	Oui, je suis allé revoir la définition du module et de l'argument >< . Au moins, j'ai trouvé la partie réelle et la partie imaginaire ( bon, ok, c'est facile mais je suis censé être ignorant dans ce domaine car je suis en classe de 1ère ). Ce message a été édité par 11TLP le 09/11/2007 à 19h52. top 100 francophone, j'ai la flemme de m'inscrire en mondial
General Vans	#34 30/11/2007 - 16h39
Codeur Hors ligne Courriel Mathématiques	Voilà un exo que j'ai eu ce matin, faisable avec des notions de TS et pas trop long. Ca donne un bon aperçu des maths en prépa je trouve même s'il n'est pas trop comlpiqué. Soit u une suite telle que $u_n>0$ $u_{n+1} = u_{n}exp(-u_n)$ Etudier la convergence de cette suite et écrire $\sum_{k=0}^{n}{u_k}$ sans symbole somme. En déduire le comportement de $\sum{u_n}$ . Remarques : $\sum{u_n}$ c'est une série, en gros c'est la somme de tous les termes de la suite u. Etudier son comportement c'est dire si elle est convergente ou divergente et donner sa limite. Converger veut dire tendre vers une limite finie. Ce message a été édité par General Vans le 30/11/2007 à 20h33.
General Vans	#35 30/11/2007 - 20h32
Codeur Hors ligne Courriel Mathématiques	D'ailleurs si ça intéresse les TS je peux mettre quelques exos de début de prépas faisable avec les connaissances du lycée
Guillawme	#36 01/12/2007 - 11h33
Modérateur Hors ligne Biologie	Ta suite est diabolique. Dis, est-ce qu'on a le droit de modifier la relation de récurrence comme ceci ? $u_n = u_{n+1} . e^{-u_n}$ $\frac{1}{u_{n+1}} = \frac{e^{-u_n}}{u_n}$ $u_{n+1} = \frac{u_n}{e^{-u_n}}$ $u_{n+1} = u_n . e^{u_n}$ Comme ça on a une "vraie" relation de récurrence (avec le $u_{n+1}$ bien isolé). Partant de cette base (mais ce qui suit est faux si on ne pouvait pas faire cette modification) : la suite est définie par une relation de récurrence du type $u_{n+1} = f(u_n)$ , avec $f$ une fonction telle que $f(x) = x.e^x$ . Donc si l'équation $f(l) = l$ a une solution, alors la suite converge vers $l$ . Résolvons $f(x) = x$ : $x.e^x = x$ $e^x = 1$ $x = 0$ La suite $u_n$ converge vers $0$ . Voilà, j'ai pas trouvé (cherché ?) le sens de variation. Et je n'ai ni les connaissances ni la motivation pour faire ce qui concerne la série. (Au fait, quelqu'un sait comment écrire le signe <=> avec LaTeX ?) La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)
RévoX	#37 01/12/2007 - 14h28
Administrateur Hors ligne Courriel Site Web Physique	$a \Leftrightarrow b$ `[tex] a \Leftrightarrow b [/tex]` Voir le sujet LaTeX dans lequel on donne le lien suivant : http://fr.wikibooks.org/wiki/Programmation_LaTeX/%C3%89crire_des_math%C3%A9matiques Chanson populaire révolutionnaire "¡El pueblo unido, jamás será vencido!"
Meianki	#38 01/12/2007 - 14h44
Hors ligne Mathématiques	General Vans @ 30/11/2007 - 16h39 a dit: Voilà un exo que j'ai eu ce matin, faisable avec des notions de TS et pas trop long. Ca donne un bon aperçu des maths en prépa je trouve même s'il n'est pas trop comlpiqué. Soit u une suite telle que $u_n>0$ $u_{n+1} = u_{n}exp(-u_n)$ Etudier la convergence de cette suite et écrire $\sum_{k=0}^{n}{u_k}$ sans symbole somme. En déduire le comportement de $\sum{u_n}$ . Remarques : $\sum{u_n}$ c'est une série, en gros c'est la somme de tous les termes de la suite u. Etudier son comportement c'est dire si elle est convergente ou divergente et donner sa limite. Converger veut dire tendre vers une limite finie. C'est marrant comme exo dit donc Bon alors on a une belle petite suite définie par récurrence Donc on s'empresse d'étudier la fonction associée qu'on va appeler f. Il est évident qu'elle est décroissante. Pour les septiques la dérivée est $-U_{n}exp{-U_{n}} < 0$ car $U_{n} > 0$ Maintenant stabilité de $]0,+\infty[$ par f, là encore ça crève les yeux, f est à valeurs positives. Donc $]0,+\infty[$ est stable par f Ensuite on résout $f(x)=x$ , Guillaume l'a fait avec un + au lieu d'un - mais le résultat est identique. Donc la suite Un converge vers 0. Bon pour la somme c'est simple il suffit d'écrire : $\sum_{k=0}^{n}{u_k} = U_{0} + U_{1} + ... + U_{n}$ ... Bon d'accord c'est pas ce qui est demandé mais bon j'ai quand même répondu à la question Plus sérieusement : On va utiliser une petite astuce marrante : Au lieu d'étudier la somme pour la simplifier on va étudier l'exponentielle de la somme. Du coup on a $exp{\sum_{k=0}^{n}{u_{k}}} = \prod_{k=0}^{n}exp{u_{k}}$ Bon maintenant ça serait cool de voir un truc qui ressemble à du $U_{n+1}$ du coup on le fait apparait par de savante opérations(multiplication par 1...) ce qui donne : $\prod_{k=0}^{n}exp{u_{k}} = \prod_{k=0}^{n}\frac{U_{k}}{U_{k}exp{-u_{k}}}=\prod_{k=0}^{n}\frac{U_{k}}{U_{k+1}}$ Hum mais c'est super chouette ça!!! On a un produit en domino! En effet quand on écrit le produit explicitement : $\prod_{k=0}^{n}exp{u_{k}} = \frac{U_{0}}{U_{1}} * \frac{U_{1}}{U_{2}} * \frac{U_{2}}{U_{3}} * ... * \frac{U_{n}}{U_{n+1}}$ Et paf plein de simplifications !!! On trouve donc : $\prod_{k=0}^{n}exp{u_{k}} = \frac{U_{0}}{U_{n+1}}$ Bon maintenant il faut virer le petit exponentiel qu'on avait mis au début pour bidouiller la somme, donc on passe au logarythme (naturel) et on obtient : $\sum_{k=0}^{n}{u_k} = ln(\frac{U_{0}}{U_{n+1}})$ Et pour la série c'est aisé, un simple passage à la limite sur n et on obtient de la série diverge. J'ai bon ? Ce message a été édité par Meianki le 01/12/2007 à 14h45.
General Vans	#39 01/12/2007 - 16h30
Codeur Hors ligne Courriel Mathématiques	Fais gaffe guillaume tu as mal recopié la suite, c'est bien u_n+1 = et non pas u_n. Ensuite si j'ai bien compris ton idée, tu as posé une fonction et tu as calculer la limite de cette fonction. Mais en fait pour faire cela il faut d'abord s'assurer que la suite converge ce qui se vérifie assez vite en fait (tu montres la décroissance puis la minoration par 0). C'est marrant comme exo dit donc Ca dépend, quand t'es en colle et qu'on te le donne à vif tu rigoles un peu moins mais sinon c'est vrai qu'il est assez sympa . Ta méthode est pas mal, moi j'ai fait à l'envers en utilisant les sommes (nous on dit téléscoper mais en domino c'est marrant aussi ). Déjà on montre la minoration par 0 avec une récurrence évidente. du coup on a $u_{n+1} = u_{n}exp(-u_n) \Leftrightarrow \frac{u_{n+1}}{u_{n}} = exp(-u_n) < 1$ (bah ouai vu que $u_n > 0$ voilà pour la décroissance. On sait du coup qu'elle converge et on peut faire comme Guillaume, on trouve l=0. Après on fait : $<br /> \sum_{k=0}^{n}{u_k} = -\sum_{k=0}^{n}-{u_k} = -\sum_{k=0}^{n}ln(exp(-{u_k}))$ $\sum_{k=0}^{n}{u_k} = -\sum_{k=0}^{n}{ln(\frac{u_{n+1}}{u_{n}})} = -\sum_{k=0}^{n}{ln(u_{n+1})-ln(u_{n})}$ Par téléscopage on a donc $\sum_{k=0}^{n}{u_k} = ln(u_0)-ln(u_{n+1})$ Du coup par passage à la limite on voit que la série diverge.
Guillawme	#40 01/12/2007 - 20h02
Modérateur Hors ligne Biologie	RévoX @ 01/12/2007 - 14h28 a dit: $a \Leftrightarrow b$ `[tex] a \Leftrightarrow b [/tex]` Voir le sujet LaTeX dans lequel on donne le lien suivant : http://fr.wikibooks.org/wiki/Programmation_LaTeX/%C3%89crire_des_math%C3%A9matiques Merci bien. J'aurais du lire ce sujet en entier. "General Vans" a dit: Fais gaffe guillaume tu as mal recopié la suite, c'est bien un+1 = et non pas un. J'ai écrit mon message avant que tu n'édites le tien qui est juste au dessus. Et à ce moment-là, je suis certain que ton $u_n$ était à gauche de l'égalité. D'où ma modification qui a viré le signe moins dans l'exponentielle. Enfin, on va pas en faire une montagne. Edit : "General Vans" a dit: Ensuite si j'ai bien compris ton idée, tu as posé une fonction et tu as calculer la limite de cette fonction. Mais en fait pour faire cela il faut d'abord s'assurer que la suite converge ce qui se vérifie assez vite en fait (tu montres la décroissance puis la minoration par 0). Euh... non. Je n'ai pas cherché une quelconque limite de ma fonction $f$ . On sait qu'une suite définie par récurrence par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers une limite $l$ solution de l'équation $f(l) = l$ (si solution il y a). Enfin, je crois que je n'invente rien avec cette propriété mais je peux me tromper. Donc je n'ai pas eu besoin de montrer la décroissance et la minoration (bien sûr ces étapes permettent d'éviter de s'embêter inutilement si la suite ne converge pas et si l'équation $f(l) = l$ est plus difficile à résoudre, mais dans ton exercice on voit au premier coup d'oeil que l'équation a bien une solution). PS (en mode chieur ) : mon pseudo prend une majuscule et un @ Ce message a été édité par Guillawme le 01/12/2007 à 20h12. La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)
le fou du Labo	#41 01/12/2007 - 21h46
Modérateur Hors ligne Physique	Dis RévoX ce genre d'exo ne te rapelle pas le cours d'analyse de 1ère? Sinon je pense que ca doit être un très chouette exercice à faire, mais je vous laisse le soin de le faire! lol Il faut vivre ses rêves et ne pas rêver sa vie!
General Vans	#42 01/12/2007 - 22h22
Codeur Hors ligne Courriel Mathématiques	Bah j'avais édité mon message il y a un moment mais peu importe En fait tu ne peux pas écrire l'équation f(l) = l si tu ne sais pas que l existe et que l est réel. C'est un abus qui est toléré en TS mais qui en fait n'a aucun sens.
Guillawme	#43 01/12/2007 - 22h38
Modérateur Hors ligne Biologie	Hum, de ce point de vue je suis d'accord. C'est vrai qu'il est complètement logique et raisonnable de rechercher avant tout si l'équation a du sens et quelle est la nature de sa/ses solution(s). En tout cas félicitations à Meianki qui arrive à rendre les maths "marrantes" (selon ses propres termes). La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)
General Vans	#44 02/12/2007 - 11h45
Codeur Hors ligne Courriel Mathématiques	Si vous voulez d'autres exos j'en ai une tonne mais bon je pense que vous avez déjà tous des TD bien chargés J'essaye d'en trouver des amusants et astucieux pour les poster (et si possible faisable dès la TS comme ça pas d'excuses ! )
General Vans	#45 16/12/2007 - 11h54
Codeur Hors ligne Courriel Mathématiques	Bon alors j'en ai 2, un est quand même classique donc je pense que vous pourrez trouver la réponse sur internet mais essayez de ne pas la poster si vous ne l'avez pas trouver par vous même (pour ceux qui cherchent ). Q1 : Prouver la convergence et donner la limite de $u_n = (1+k)(1+k^2)(1+k^4)...(1+k^{2n})$ Sachant que k est une constante de ]0;1[ (je ferme les bornes mais je pense que ça ne change rien au problème, enfin les cas aux bornes ne sont pas passionnants de toutes façons). Q2 : Un marcheur parcours 6km en 1h, montrez qu'il existe un intervalle d'une demi heure durant lequel il parcours exactement 3km. Dans le même style, un marcheur monte une montagne, il n'y a qu'un seul chemin possible. Il part à 12h et arrive à 18h, il parcours 20km. Le lendemain, il fait le chemin inverse entre 12h et 18h, montrez qu'il s'est forcément retrouvé à la même heure au même endroit au moins une fois Depuis le temps que je voulais les poster, f'in bon avec l'indisponibilité etc... Ce message a été édité par General Vans le 19/12/2007 à 16h51.

11TLP

#31 09/11/2007 - 00h32

Hors ligne Courriel

Mathématiques

Ou plutôt si : j'ai essayé avec la méthode coordonnées polaires -> coordonnées rectangulaires et ça donne :

$e^{ai} + e^{bi}$
=
sin(a)+sin(b)+(cos(a)+cos(b))i

Et c'est merveilleux parce-que ça marche

top 100 francophone, j'ai la flemme de m'inscrire en mondial

General Vans

#32 09/11/2007 - 07h29

Codeur

Hors ligne Courriel

Mathématiques

oui mais c'est pas factorisé

11TLP

#33 09/11/2007 - 19h52

Hors ligne Courriel

Mathématiques

Oui, je suis allé revoir la définition du module et de l'argument >< . Au moins, j'ai trouvé la partie réelle et la partie imaginaire ( bon, ok, c'est facile mais je suis censé être ignorant dans ce domaine car je suis en classe de 1ère ).

Ce message a été édité par 11TLP le 09/11/2007 à 19h52.

top 100 francophone, j'ai la flemme de m'inscrire en mondial

General Vans

#34 30/11/2007 - 16h39

Codeur

Hors ligne Courriel

Mathématiques

Voilà un exo que j'ai eu ce matin, faisable avec des notions de TS et pas trop long. Ca donne un bon aperçu des maths en prépa je trouve même s'il n'est pas trop comlpiqué.

Soit u une suite telle que $u_n>0$
$u_{n+1} = u_{n}exp(-u_n)$

Etudier la convergence de cette suite et écrire $\sum_{k=0}^{n}{u_k}$ sans symbole somme.

En déduire le comportement de $\sum{u_n}$ .

Remarques : $\sum{u_n}$ c'est une série, en gros c'est la somme de tous les termes de la suite u. Etudier son comportement c'est dire si elle est convergente ou divergente et donner sa limite.
Converger veut dire tendre vers une limite finie.

Ce message a été édité par General Vans le 30/11/2007 à 20h33.

General Vans

#35 30/11/2007 - 20h32

Codeur

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Mathématiques

D'ailleurs si ça intéresse les TS je peux mettre quelques exos de début de prépas faisable avec les connaissances du lycée

Guillawme

#36 01/12/2007 - 11h33

Modérateur

Hors ligne

Biologie

Ta suite est diabolique.

Dis, est-ce qu'on a le droit de modifier la relation de récurrence comme ceci ?

$u_n = u_{n+1} . e^{-u_n}$

$\frac{1}{u_{n+1}} = \frac{e^{-u_n}}{u_n}$

$u_{n+1} = \frac{u_n}{e^{-u_n}}$

$u_{n+1} = u_n . e^{u_n}$

Comme ça on a une "vraie" relation de récurrence (avec le $u_{n+1}$ bien isolé).

Partant de cette base (mais ce qui suit est faux si on ne pouvait pas faire cette modification) :

la suite est définie par une relation de récurrence du type $u_{n+1} = f(u_n)$ , avec $f$ une fonction telle que $f(x) = x.e^x$ .
Donc si l'équation $f(l) = l$ a une solution, alors la suite converge vers $l$ .

Résolvons $f(x) = x$ :
$x.e^x = x$
$e^x = 1$
$x = 0$

La suite $u_n$ converge vers $0$ .

Voilà, j'ai pas trouvé (cherché ?) le sens de variation.
Et je n'ai ni les connaissances ni la motivation pour faire ce qui concerne la série.

(Au fait, quelqu'un sait comment écrire le signe <=> avec LaTeX ?)

La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)

RévoX

#37 01/12/2007 - 14h28

Administrateur

Hors ligne Courriel Site Web

Physique

$a \Leftrightarrow b$

[tex] a \Leftrightarrow b [/tex]

Voir le sujet LaTeX dans lequel on donne le lien suivant :
http://fr.wikibooks.org/wiki/Programmation_LaTeX/%C3%89crire_des_math%C3%A9matiques

Chanson populaire révolutionnaire
"¡El pueblo unido, jamás será vencido!"

Meianki

#38 01/12/2007 - 14h44

Hors ligne

Mathématiques

General Vans @ 30/11/2007 - 16h39 a dit:
Voilà un exo que j'ai eu ce matin, faisable avec des notions de TS et pas trop long. Ca donne un bon aperçu des maths en prépa je trouve même s'il n'est pas trop comlpiqué.

Soit u une suite telle que $u_n>0$
$u_{n+1} = u_{n}exp(-u_n)$

Etudier la convergence de cette suite et écrire $\sum_{k=0}^{n}{u_k}$ sans symbole somme.

En déduire le comportement de $\sum{u_n}$ .

Remarques : $\sum{u_n}$ c'est une série, en gros c'est la somme de tous les termes de la suite u. Etudier son comportement c'est dire si elle est convergente ou divergente et donner sa limite.
Converger veut dire tendre vers une limite finie.

C'est marrant comme exo dit donc

Bon alors on a une belle petite suite définie par récurrence
Donc on s'empresse d'étudier la fonction associée qu'on va appeler f.
Il est évident qu'elle est décroissante.
Pour les septiques la dérivée est $-U_{n}exp{-U_{n}} < 0$ car $U_{n} > 0$
Maintenant stabilité de $]0,+\infty[$ par f, là encore ça crève les yeux, f est à valeurs positives.
Donc $]0,+\infty[$ est stable par f
Ensuite on résout $f(x)=x$ , Guillaume l'a fait avec un + au lieu d'un - mais le résultat est identique.
Donc la suite Un converge vers 0.

Bon pour la somme c'est simple il suffit d'écrire : $\sum_{k=0}^{n}{u_k} = U_{0} + U_{1} + ... + U_{n}$ ...

Bon d'accord c'est pas ce qui est demandé mais bon j'ai quand même répondu à la question

Plus sérieusement :
On va utiliser une petite astuce marrante :
Au lieu d'étudier la somme pour la simplifier on va étudier l'exponentielle de la somme.
Du coup on a $exp{\sum_{k=0}^{n}{u_{k}}} = \prod_{k=0}^{n}exp{u_{k}}$
Bon maintenant ça serait cool de voir un truc qui ressemble à du $U_{n+1}$ du coup on le fait apparait par de savante opérations(multiplication par 1...) ce qui donne :
$\prod_{k=0}^{n}exp{u_{k}} = \prod_{k=0}^{n}\frac{U_{k}}{U_{k}exp{-u_{k}}}=\prod_{k=0}^{n}\frac{U_{k}}{U_{k+1}}$
Hum mais c'est super chouette ça!!! On a un produit en domino!
En effet quand on écrit le produit explicitement :
$\prod_{k=0}^{n}exp{u_{k}} = \frac{U_{0}}{U_{1}} * \frac{U_{1}}{U_{2}} * \frac{U_{2}}{U_{3}} * ... * \frac{U_{n}}{U_{n+1}}$
Et paf plein de simplifications !!!
On trouve donc :
$\prod_{k=0}^{n}exp{u_{k}} = \frac{U_{0}}{U_{n+1}}$
Bon maintenant il faut virer le petit exponentiel qu'on avait mis au début pour bidouiller la somme, donc on passe au logarythme (naturel) et on obtient :
$\sum_{k=0}^{n}{u_k} = ln(\frac{U_{0}}{U_{n+1}})$

Et pour la série c'est aisé, un simple passage à la limite sur n et on obtient de la série diverge.

J'ai bon ?

Ce message a été édité par Meianki le 01/12/2007 à 14h45.

General Vans

#39 01/12/2007 - 16h30

Codeur

Hors ligne Courriel

Mathématiques

Fais gaffe guillaume tu as mal recopié la suite, c'est bien u_n+1 = et non pas u_n.

Ensuite si j'ai bien compris ton idée, tu as posé une fonction et tu as calculer la limite de cette fonction.

Mais en fait pour faire cela il faut d'abord s'assurer que la suite converge ce qui se vérifie assez vite en fait (tu montres la décroissance puis la minoration par 0).

C'est marrant comme exo dit donc

Ca dépend, quand t'es en colle et qu'on te le donne à vif tu rigoles un peu moins mais sinon c'est vrai qu'il est assez sympa

.
Ta méthode est pas mal, moi j'ai fait à l'envers en utilisant les sommes (nous on dit téléscoper mais en domino c'est marrant aussi

).

Déjà on montre la minoration par 0 avec une récurrence évidente.
du coup on a

$u_{n+1} = u_{n}exp(-u_n) \Leftrightarrow \frac{u_{n+1}}{u_{n}} = exp(-u_n) < 1$ (bah ouai vu que $u_n > 0$ voilà pour la décroissance. On sait du coup qu'elle converge et on peut faire comme Guillaume, on trouve l=0.

Après on fait :
$<br /> \sum_{k=0}^{n}{u_k} = -\sum_{k=0}^{n}-{u_k} = -\sum_{k=0}^{n}ln(exp(-{u_k}))$
$\sum_{k=0}^{n}{u_k} = -\sum_{k=0}^{n}{ln(\frac{u_{n+1}}{u_{n}})} = -\sum_{k=0}^{n}{ln(u_{n+1})-ln(u_{n})}$

Par téléscopage on a donc $\sum_{k=0}^{n}{u_k} = ln(u_0)-ln(u_{n+1})$

Du coup par passage à la limite on voit que la série diverge.

Guillawme

#40 01/12/2007 - 20h02

Modérateur

Hors ligne

Biologie

RévoX @ 01/12/2007 - 14h28 a dit:
$a \Leftrightarrow b$

[tex] a \Leftrightarrow b [/tex]

Voir le sujet LaTeX dans lequel on donne le lien suivant :
http://fr.wikibooks.org/wiki/Programmation_LaTeX/%C3%89crire_des_math%C3%A9matiques

Merci bien.

J'aurais du lire ce sujet en entier.

"General Vans" a dit:
Fais gaffe guillaume tu as mal recopié la suite, c'est bien un+1 = et non pas un.

J'ai écrit mon message avant que tu n'édites le tien qui est juste au dessus.
Et à ce moment-là, je suis certain que ton $u_n$ était à gauche de l'égalité.
D'où ma modification qui a viré le signe moins dans l'exponentielle.
Enfin, on va pas en faire une montagne.

Edit :

"General Vans" a dit:
Ensuite si j'ai bien compris ton idée, tu as posé une fonction et tu as calculer la limite de cette fonction.

Mais en fait pour faire cela il faut d'abord s'assurer que la suite converge ce qui se vérifie assez vite en fait (tu montres la décroissance puis la minoration par 0).

Euh... non.

Je n'ai pas cherché une quelconque limite de ma fonction $f$ .

On sait qu'une suite définie par récurrence par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers une limite $l$ solution de l'équation $f(l) = l$ (si solution il y a).
Enfin, je crois que je n'invente rien avec cette propriété mais je peux me tromper.

Donc je n'ai pas eu besoin de montrer la décroissance et la minoration (bien sûr ces étapes permettent d'éviter de s'embêter inutilement si la suite ne converge pas et si l'équation $f(l) = l$ est plus difficile à résoudre, mais dans ton exercice on voit au premier coup d'oeil que l'équation a bien une solution).

PS (en mode chieur

) : mon pseudo prend une majuscule et un @

Ce message a été édité par Guillawme le 01/12/2007 à 20h12.

La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)

le fou du Labo

#41 01/12/2007 - 21h46

Modérateur

Hors ligne

Physique

Dis RévoX ce genre d'exo ne te rapelle pas le cours d'analyse de 1ère? Sinon je pense que ca doit être un très chouette exercice à faire, mais je vous laisse le soin de le faire! lol

Il faut vivre ses rêves et ne pas rêver sa vie!

General Vans

#42 01/12/2007 - 22h22

Codeur

Hors ligne Courriel

Mathématiques

Bah j'avais édité mon message il y a un moment mais peu importe

En fait tu ne peux pas écrire l'équation f(l) = l si tu ne sais pas que l existe et que l est réel. C'est un abus qui est toléré en TS mais qui en fait n'a aucun sens.

Guillawme

#43 01/12/2007 - 22h38

Modérateur

Hors ligne

Biologie

Hum, de ce point de vue je suis d'accord.
C'est vrai qu'il est complètement logique et raisonnable de rechercher avant tout si l'équation a du sens et quelle est la nature de sa/ses solution(s).

En tout cas félicitations à Meianki qui arrive à rendre les maths "marrantes" (selon ses propres termes).

La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)

General Vans

#44 02/12/2007 - 11h45

Codeur

Hors ligne Courriel

Mathématiques

Si vous voulez d'autres exos j'en ai une tonne mais bon je pense que vous avez déjà tous des TD bien chargés

J'essaye d'en trouver des amusants et astucieux pour les poster (et si possible faisable dès la TS comme ça pas d'excuses !

)

General Vans

#45 16/12/2007 - 11h54

Codeur

Hors ligne Courriel

Mathématiques

Bon alors j'en ai 2, un est quand même classique donc je pense que vous pourrez trouver la réponse sur internet mais essayez de ne pas la poster si vous ne l'avez pas trouver par vous même (pour ceux qui cherchent

).

Q1 :
Prouver la convergence et donner la limite de
$u_n = (1+k)(1+k^2)(1+k^4)...(1+k^{2n})$ Sachant que k est une constante de ]0;1[ (je ferme les bornes mais je pense que ça ne change rien au problème, enfin les cas aux bornes ne sont pas passionnants de toutes façons).

Q2 :
Un marcheur parcours 6km en 1h, montrez qu'il existe un intervalle d'une demi heure durant lequel il parcours exactement 3km.

Dans le même style, un marcheur monte une montagne, il n'y a qu'un seul chemin possible. Il part à 12h et arrive à 18h, il parcours 20km. Le lendemain, il fait le chemin inverse entre 12h et 18h, montrez qu'il s'est forcément retrouvé à la même heure au même endroit au moins une fois

Depuis le temps que je voulais les poster, f'in bon avec l'indisponibilité etc...

Ce message a été édité par General Vans le 19/12/2007 à 16h51.

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