Récemment, j'ai vu dans un livre une méthode très élégante pour démontrer l'inégalité de Nesbitt.
Normalement, j'utilisais Chebychev ou l'inégalité de la moyenne (A1+A2+...+An >= n(A1*A2*...*An)^1/n )pour la prouver)
Et vous?

Et c'est quoi l'inégalité de Nesbitt, elle sert à quoi??

a/(b+c) + b/(a+c) +c/(a+b) >= 3/2

Dans la deuxième fraction t'as surement fait une faute de frappe (a à la place de b au numérateur)
Perso je connaissais pas et je n'ai jamais utilisé, donc je peux pas trop te dire quel méthode je préfère
C'est utilisé dans quel domaine à part en maths?

Ah oui! Faute de frappe...
Quant à l'inégalité de Nesbitt, je ne sais pas si elle est utilisée dans un autre domaine...mais c'est un grand classique des olympiades de maths.
Sa démonstration est assez "tordue" - enfin la façon dont je la démontre :
Supposons que a>=b>=c ==> 1/(b+c)>=1/(a+c)>=1/(a+b)
On applique Chebychev :
S=a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 1/3 * (a+b+c)(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c))
Ainsi S>= 1/6 * (a+b+b+c+a+c)(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c))
Application de l'inégalité de la moyenne :
(a+b+b+c+a+c)(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c))>=9
On conclut.
La méthode élégante :
S=a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)=(a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(a+c) + (a+b+c)/(a+b) -3
==> S=(a+b+c)(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c)) -3=1/2(a+b+b+c+a+c)(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c)) -3
On a démontré plus haut que (a+b+b+c+a+c)(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c))>=9
On conclut.

Il doit y avoir une démonstration plus simple, non ? Là, c'est diabolique à trouver, à moins que ce soit une impression dûe au fait que ce soit sur une seule ligne.

11TLP @ 10/01/2008 - 22h38 a dit:

Il doit y avoir une démonstration plus simple, non ? Là, c'est diabolique à trouver, à moins que ce soit une impression dûe au fait que ce soit sur une seule ligne.

Nan mais c'est souvent le cas avec les démonstrations astucieuses, puis avec le recul on découvre qu'en fait c'est toujours le même genre d'astuce

11TLP @ 10/01/2008 - 22h38 a dit:

Il doit y avoir une démonstration plus simple, non ? Là, c'est diabolique à trouver, à moins que ce soit une impression dûe au fait que ce soit sur une seule ligne.

Bah! jusqu'à maintenant, c'est la méthode la plus élégante - et qui utilise le moin de connaissance - que j'ai trouvée...
Si tu en trouves une autre meilleure, tu me rendrais un merveilleux service en la postant.

P.S. : Ah oui! j'oubliais : on peut aussi la démontrer en utilisant l'inégalité de Cauchy-Chwarz.

mgg @ 11/01/2008 - 21h59 a dit:

P.S. : Ah oui! j'oubliais : on peut aussi la démontrer en utilisant l'inégalité de Cauchy-Chwarz.

Juste pour faire semblant que je m'y connais un peu, on écrit Cauchy-Swcharz

RévoX @ 11/01/2008 - 22h10 a dit:

mgg @ 11/01/2008 - 21h59 a dit:

P.S. : Ah oui! j'oubliais : on peut aussi la démontrer en utilisant l'inégalité de Cauchy-Chwarz.

Juste pour faire semblant que je m'y connais un peu, on écrit Cauchy-Swcharz

Perdu ! On écrit Cauchy-Schwarz
Source : Wikipedia

Et vous imaginez si un petit malin a modifié ce nom ? Moi je ne fais confiance qu'aux livres.

Nan mais je confirme que c'est Cauchy Schwarz, d'ailleurs la démo est assez intéressante

Eh oui !  
GV>> QUel démo?

mgg @ 12/01/2008 - 11h18 a dit:

Perdu ! On écrit Cauchy-Schwarz
Source : Wikipedia

Hum... c'est ce que je voulais écrire   Ca fait tjs con quand on reprend qqn et qu'on se plante à son tour !  

mgg @ 13/01/2008 - 12h08 a dit:

Eh oui !  
GV>> QUel démo?

Celle qui utiliser le produis scalaire, d'ailleurs un colleur m'avait dit que Cauchy Schwarz était la généralisation du produit scalaire à n dimension