Hypo-thèses - Les inégalités

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mhdi	#1 06/01/2008 - 23h31
Hors ligne Courriel Mathématiques	Voici une inégalité assez facile . démontrez que pour tous (x;y) de R²+*, et en sachant que x+y=1, l'inégalité suivante : (1+1/x)(1+1/y)>=9 Si vous en avez d'autres, n'hésitez surtout pas... Ce message a été édité par mhdi le 06/01/2008 à 23h31.
RévoX	#2 07/01/2008 - 14h25
Administrateur Hors ligne Courriel Site Web Physique	Mmh... Pour le moment je cale Chanson populaire révolutionnaire "¡El pueblo unido, jamás será vencido!"
Guillawme	#3 07/01/2008 - 15h04
Modérateur En ligne Biologie	Je tente, mais si RévoX bloque alors je me suis sûrement planté... $x + y = 1 \Leftrightarrow x = 1 - y \\$ Donc $(1 + \frac{1}{x})(1 + \frac{1}{y}) = (1 + \frac{1}{1 - y})(1 + \frac{1}{y}) \\<br /> \Leftrightarrow = \frac{y(y - 1) + 1 - y + y + 1}{y(1 - y)} \\<br /> \Leftrightarrow = \frac{-y^2 + y + 2}{y - y^2} \\$ Et enfin $\frac{-y^2 + y + 2}{y - y^2} \geq 9 \Leftrightarrow -y^2 + y + 2 \geq 9y - 9y^2 \\<br /> \Leftrightarrow 8y^2 - 8y + 2 \geq 0 \\<br /> \Leftrightarrow 4y^2 - 4y + 1 \geq 0 \\<br /> \Leftrightarrow y(4y - 4 + 1) \geq 0 \\<br /> \Leftrightarrow y \geq 0 \; OU \; y \geq \frac{3}{4} \\<br /> \Rightarrow x \geq 1 \; OU \; x \geq \frac{1}{4}$ J'ai bon ? Edit : zut, le LaTeX ne passe pas... Ce message a été édité par Guillawme le 07/01/2008 à 15h12. La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)
General Vans	#4 07/01/2008 - 18h18
Codeur Hors ligne Courriel Mathématiques	Suffit d'étudier la fonction (1+1/x)(1+1/(1-x))-9 et de montrer qu'elle ne s'annule pas (D'ailleur il faut que y!=1)
mhdi	#5 07/01/2008 - 18h55
Hors ligne Courriel Mathématiques	General Vans @ 07/01/2008 - 18h18 a dit: Suffit d'étudier la fonction (1+1/x)(1+1/(1-x))-9 et de montrer qu'elle ne s'annule pas (D'ailleur il faut que y!=1) Y'a plus simple XD Indice : 1+1/x=1+(y+x)/x @Guill@ume : Tu peux reformuler... ^^' Ce message a été édité par mhdi le 07/01/2008 à 18h59.
Kabefis	#6 07/01/2008 - 21h45
Hors ligne Courriel	a) 1+1/x = 1+(y+x)/x = 1+y/x+1= 2 + y/x b) 1+1/y = .. = 2 + x/y ab) => 4 + (2y² + 2x²)/xy + 1 = 5 + (2y² + 2x²)/xy => 5 + 2(y² + x²)/xy => 5 + 2(y² + x² + 2xy)/xy - 4xy/xy => 5 + 2((x+y)(x+y))/xy - 4 => 1 + 2(11)/xy => 1 + 2/xy x+y=1 avec x et y > 0 La plus grande valeur de xy est 0.25 avec x=y=0.5 1 + 2/0.25 = 9 (1+1/x)(1+1/y) >= 9 Y a p'tet plus simple, en tout cas merci de l'indice Erreurs sur erreurs la vie évolue, l'humanité est une des plus grandes sources d'erreurs.
mhdi	#7 07/01/2008 - 22h23
Hors ligne Courriel Mathématiques	Oui, y'a plus simple : A=1+1/x = 1+(y+x)/x = 1+y/x+1= 2 + y/x B=1+1/y = .. = 2 + x/y AB=4+2x/y+2y/x+1 =5+2(x/y+y/x) On sait que x/y+y/x>=2 (facile à démontrer puisque [rac(a)-rac(b)]²>=0 pour tous (a;b) de R²+) ==> AB>=5+22=9 Et voilà!
Guillawme	#8 08/01/2008 - 08h48
Modérateur En ligne Biologie	mgg, tu me diras si c'est bon quand le LaTeX fonctionnera de nouveau. (J'ai surtout le flemme de changer tout. :-° ) La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)
mhdi	#9 11/01/2008 - 22h12
Hors ligne Courriel Mathématiques	Guill@ume @ 08/01/2008 - 08h48 a dit: mgg, tu me diras si c'est bon quand le LaTeX fonctionnera de nouveau. (J'ai surtout le flemme de changer tout. :-° ) Bon, le latex ne semble pas vouloir marcher. Alors je propose une autre inégalité : Pour tout entier n>0, prouver que : 1+1/2²+1/3²+...+1/n²<2 Ca ne demande pas beaucoup connaissances. Indice : Spoiler1/(n(n+1))=1/n - 1/(n+1)
General Vans	#10 11/01/2008 - 23h00
Codeur Hors ligne Courriel Mathématiques	La somme de 1/k² tend même vers π²/6 ce qui est inférieur à 2, maintenant ma démo est vraiment bourrain et fait 3 pages donc j'ai la flemme de la recopier (c'est celle de mon cours plus que la mienne en vrai ^^).
mhdi	#11 12/01/2008 - 11h24
Hors ligne Courriel Mathématiques	General Vans @ 11/01/2008 - 23h00 a dit: La somme de 1/k² tend même vers π²/6 ce qui est inférieur à 2, maintenant ma démo est vraiment bourrain et fait 3 pages donc j'ai la flemme de la recopier (c'est celle de mon cours plus que la mienne en vrai ^^). Non, pas besoin de prouver qu'elle est inférieur à π²/6 On arrive facilement et avec très peu de connaissances à prouver qu'elle est inférieur à 2 EDIT : Bug du forum (double-poste) Ce message a été édité par mhdi le 12/01/2008 à 11h26.
Guillawme	#12 12/01/2008 - 11h54
Modérateur En ligne Biologie	mgg : j'ai supprimé le doublon. Sinon, c'est vrai que j'ai reconnu dans ton inégalité la série 1/k², donc limite connue, mais je serais bien incapable de démontrer cette limite. (Et je dois dire que la taille de la démonstration qu'évoque GV a terminé de me dissuader d'essayer.) La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)
mhdi	#13 12/01/2008 - 12h11
Hors ligne Courriel Mathématiques	Tu as lu le spoiler(l'indice)? P.S.:La démo est assez courte
mhdi	#14 12/01/2008 - 14h08
Hors ligne Courriel Mathématiques	Bon, puisque personne ne semble vouloir poster, je poste une partie de la solution : 1/k²<1/(k-1)k, et puisque 1/k(k+1)=1/k - 1/(k+1), 1/k²<1/(k-1) - 1/k Je pense que là c'est très facile.
General Vans	#15 12/01/2008 - 14h53
Codeur Hors ligne Courriel Mathématiques	La somme du coup se téléscope j'arrives à la somme inférieure à 1-1/n + 1 = 2-1/n < 2