Hypo-thèses - Problème de Maths !

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Korhil	#16 13/06/2008 - 18h46
Hors ligne Physique	Salut salut! Bon, je fais appel à vous tous pour un (simple?) exercice: $f(x) = x \times \sin \frac{1}{x} \$ Il faut déterminer le nombre de racines de f sur $\left [ 1 , \infty \right [$ Aussi, quelqu'un pourrait m'expliquer comment calculer les asymptotes horizontales, parce que je ne sais pas comment faire avec des $\sin \frac{1}{x} \$ Merci d'avance!
General Vans	#17 14/06/2008 - 00h36
Codeur En ligne Courriel Mathématiques	Comme ça rapidement je pense que tu devrais essayer de changer de variable. x-> 1/x cela dit il est 00h36, la France vient de se faire démonter par la hollande donc il est probable que je dise n'importe quoi
Guillawme	#18 14/06/2008 - 00h46
Modérateur Hors ligne Biologie	Salut Un petit coup de main pour tes asymptotes (j'ai pas trop le courage de me lancer dans l'autre question à cette heure, en plus pour ma décharge je me permets d'avancer le fait que je ne suis pas spécialement un matheux ). Je suppose que tu sais comment déterminer si la courbe représentative d'une fonction admet des asymptotes horizontales, mais dans le doute voilà quand même le truc (en secret pour prendre moins de place et si tu le sais déjà). SpoilerPour déterminer une asymptote horizontale tu dois chercher les limites à l'infini (en positif et en négatif bien sûr, pour ne rien oublier). Si $\lim_{x \to \pm \infty}{f(x)} = a$ avec $a \neq \pm \infty$ alors tu as une asymptote horizontale d'équation $y=a$ . Si la limite d'un côté de zéro est différente de celle de l'autre côté, alors tu as deux asymptotes horizontales (respectivement au voisinage de plus/moins l'infini). Si une des deux limites est infinie, alors tu n'as qu'une seule asymptote horizontale (du côté où la limite est finie). Enfin si les deux limites sont infinies tu n'as pas d'asymptote horizontale. Donc si c'est le sinus qui te gêne, je te propose de procéder en deux temps. Cherche d'abord les limites à l'infini de $\frac{1}{x}$ (notons-les $l_{1}$ et $l_{2}$ ), ça ne devrait pas te poser de problème. Ensuite regarde ce que tu peux faire de ces limites avec le sinus. Autrement dit : peux-tu calculer $\sin{(l_{1})}$ et $\sin{(l_{2})}$ ? Si oui, alors tu as ta réponse ! PS: GV, tu m'as grillé le temps que je mette en forme mon pavé, et que j'y ajoute ce qu'il fallait de pédagogie... Mais qu'est-ce que tu fais connecté à c't'heure ?! PPS: si tu te poses la question Korhil, ma solution est exactement la même que celle de GV mais je développe juste l'idée (une fois ça compris, tu peux par après faire des changements de variable comme une brute de la même façon que lui). La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)
Korhil	#19 14/06/2008 - 09h50
Hors ligne Physique	Bon, je vais essayer de voir si j'ai bien compris! 1) $\lim_{x \to \pm \infty}{f(x)} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow \lim_{x \to \pm \infty} { \frac{1}{x} } = 0$ Donc la limite de $\frac{1}{x}$ est égale à 0 des deux côtés. 2) Si je suis ta logique, je calcule $\sin{0} = 0$ et je remplace pour rechercher la limite $\lim_{x \to \pm \infty}{f(x)} = x \sin{0} \Leftrightarrow \lim_{x \to \pm \infty} { x \times 0 } = 0$ Bon, je suis tout à fait d'accord avec vous. Sauf que, lorsque je trace le graphe sur ma calculatrice Y = X*sin(1/X) je me retrouve avec un graphe qui file en Y=1... Je crois que j'ai encore un petit peu besoin de votre aide!
Elrond	#20 14/06/2008 - 09h55
Hors ligne Physique	oups Ce message a été édité par Elrond le 14/06/2008 à 09h57. La théorie, c'est quand on sait tout et que rien ne fonctionne. La pratique, c'est quand tout fonctionne et que personne ne sait pourquoi. Ici, nous avons réuni théorie et pratique : Rien ne fonctionne... et personne ne sait pourquoi ! Un célèbre allemand tireur de langue
RévoX	#21 14/06/2008 - 14h46
Administrateur Hors ligne Courriel Site Web Physique	Hé là bas camarade, grosse erreur. Effectivement lorsque x tend vers l'infinie, 1/x tend vers zéro mais tu oublie que tu multiplie par x ! Et l'infini fois zéro c'est indéterminé ! Il faut donc lever cette indétermination par une étude plus approfondie du sinus. Comme GV moi je ferais un changement de variable. Et donc étudier la limite en l'infini de $x * sin(\frac{1}{x})$ revient à étudier le limite orsque x tend vers zéro de $\frac{sin(x)}{x}$ Tu peux par exemple développer le sinus en série de Taylor et tu verras alors que quand $x \simeq 0$ alors $sin(x) \simeq x$ et donc ta limite de $\frac{sin(x)}{x}$ devient $\frac{x}{x} =1$ cqfd Chanson populaire révolutionnaire "¡El pueblo unido, jamás será vencido!"
Guillawme	#22 14/06/2008 - 15h05
Modérateur Hors ligne Biologie	Pour l'indétermination "zéro fois l'infini" je suis d'accord, ça doit être étudié sinon on ne prouve rien. Mais pour ton histoire de série de Taylor je pense que c'est un peu ambitieux, car il me semble que Korhil est au lycée, or on n'apprend pas ça dans ces classes... Par contre l'approximation $\sin{(x)} \simeq x$ quand $x$ est voisin de zéro on la connaît au lycée (sans savoir la démontrer) mais les profs de maths n'en parlent pas (c'est en physique qu'on la donne). Bref, pour le prof de maths mieux vaut à mon avis privilégier la solution avec le changement de variable. Parce qu'en fait $\lim_{x \to 0}\frac{\sin{(x)}}{x} = f'(x)$ si f est la fonction qui associe sin(x) à x. Et youpla boum ! Rien que ça doit te donner ta solution, si tu connais tes tables de dérivation. La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)
Korhil	#23 14/06/2008 - 15h27
Hors ligne Physique	Ok! Un grand merci en tous cas. J'ai eu l'idée de rapprocher l'équation au théorème du sandwich (ça doit être le nom lycéen de la série de Taylor) où $\lim_{x \to 0}\frac{\sin{(x)}}{x} = 1$ mais je n'ai pas réussi à le faire. Bon, une dernière question et après j'arrête de vous ennuyer: RévoX, tu passes comment de $x * sin(\frac{1}{x})$ à $\frac{sin(x)}{x}$ ? J'ai beau me triturer les méninges, je ne vois pas comment ça se fait. Allez, c'est promis, j'arrête après ceci et je vous remercie d'avance!
Elrond	#24 14/06/2008 - 16h41
Hors ligne Physique	C'est grace au changement de variable, comme te le conseillais GV : Si tu remplaces x par 1/x dans ton équation, tu as : $f(x) = xsin(\frac{1}{x}) \\<br /> f(x) = \frac{1}{x}sin(\frac{x}{1}) \\<br /> f(x) = \frac{1}{x}*sin(x) \\<br /> f(x) = \frac{sin(x)}{x}$ La théorie, c'est quand on sait tout et que rien ne fonctionne. La pratique, c'est quand tout fonctionne et que personne ne sait pourquoi. Ici, nous avons réuni théorie et pratique : Rien ne fonctionne... et personne ne sait pourquoi ! Un célèbre allemand tireur de langue
RévoX	#25 14/06/2008 - 19h39
Administrateur Hors ligne Courriel Site Web Physique	Ah en fait je me souviens qu'au lycée il y avait une loi qui disant que quand on avait 0/0 ou l'infini/infinie il suffit de dériver le nominateur et le dénominateur pour lever l'indétermination. On arrive donc à $\frac{cos (x)}{1}$ on remplace x par 0 et on obtient 1/1=1 cqfd Chanson populaire révolutionnaire "¡El pueblo unido, jamás será vencido!"
Guillawme	#26 14/06/2008 - 19h48
Modérateur Hors ligne Biologie	Ah je ne savais pas que ça fonctionnait dans tous les cas. Intéressant. En fait la méthode que je connaissais est d'identifier la limite recherchée à un taux de variation (éventuellement par un changement de variable, comme on l'a fait ici), ce qui permet de la calculer si on sait dériver la fonction concernée. Techniquement c'est pareil, mais cette approche n'est pas généralisée. La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)
General Vans	#27 15/06/2008 - 00h09
Codeur En ligne Courriel Mathématiques	Le coup du $\frac{sin(x)}{x}$ on peut le voir tout simplement par le taux de variation ou alors en disant que sinx équivaut à x au voisinage de 0 et là paf. euh Revox à mon avis ta méthode est fausse, j'ai pas le courage de vérifier mais ça me parait trop beau un coup comme ça pour qu'on n'en parle pas plus. Cela dit pourquoi pas... J'ai eu l'idée de rapprocher l'équation au théorème du sandwich Non ce n'est pas la même chose que le théroème de Taylor, avec la méthode d'encadrement ça te donne -1/x <= f(x) <= 1/x et en 0 ça nous aide pas trop donc c'est inapplicable ici. Sauf en utilisant le fait que sin(x) < x (par convexité de sinus sur un intervalle de longueur π centré en 0, tu peux aussi le montrer en étudiant la fonction sinx - x et en voyant qu'elle ne s'annule pas autour de0) auquel cas tu aurais bien 1 <= f(x) <= 1. Mais qu'est-ce que tu fais connecté à c't'heure Bah le foot, tout ça tout ça
General Vans	#28 15/06/2008 - 00h11
Codeur En ligne Courriel Mathématiques	Mais c'est quoi qui t'embête dans l'exo au juste ? Parce qu'on parle de la limite en 0 mais le soucis n'est pas là apparemment ?
Korhil	#29 15/06/2008 - 08h46
Hors ligne Physique	Mon problème c'était simplement remplacé le $f(x) = x*sin(\frac{1}{x})$ par $f(x) = \frac{sin(x)}{x}$ . Je ne comprennais pas comment oublier ce $\sin(\frac{1} {x})$ . En tous cas merci, je comprends maintenant!
MarbolanGos	#30 16/06/2008 - 09h28
Hors ligne Chimie	J'arrive après la bataille dommage j'aurai pu aider pour une fois D'ailleurs pour la limite en l'infini on a les développement limités de sin(1/x) : $sin(1/x) = x - x^{3}/6 +\cdots$ Donc la limite en l'infini c'est : $1 - \frac{1}{6x^{3}}$ ~ 1 Hum c'était quoi la question j'ai déjà oublié Ce message a été édité par MarbolanGos le 16/06/2008 à 09h28.

Korhil

#16 13/06/2008 - 18h46

Hors ligne

Physique

Salut salut!

Bon, je fais appel à vous tous pour un (simple?) exercice:

$f(x) = x \times \sin \frac{1}{x} \$

Il faut déterminer le nombre de racines de f sur $\left [ 1 , \infty \right [$

Aussi, quelqu'un pourrait m'expliquer comment calculer les asymptotes horizontales, parce que je ne sais pas comment faire avec des $\sin \frac{1}{x} \$

Merci d'avance!

General Vans

#17 14/06/2008 - 00h36

Codeur

En ligne Courriel

Mathématiques

Comme ça rapidement je pense que tu devrais essayer de changer de variable.

x-> 1/x
cela dit il est 00h36, la France vient de se faire démonter par la hollande donc il est probable que je dise n'importe quoi

Guillawme

#18 14/06/2008 - 00h46

Modérateur

Hors ligne

Biologie

Salut

Un petit coup de main pour tes asymptotes (j'ai pas trop le courage de me lancer dans l'autre question à cette heure, en plus pour ma décharge je me permets d'avancer le fait que je ne suis pas spécialement un matheux

).

Je suppose que tu sais comment déterminer si la courbe représentative d'une fonction admet des asymptotes horizontales, mais dans le doute voilà quand même le truc (en secret pour prendre moins de place et si tu le sais déjà).

SpoilerPour déterminer une asymptote horizontale tu dois chercher les limites à l'infini (en positif et en négatif bien sûr, pour ne rien oublier).

Si $\lim_{x \to \pm \infty}{f(x)} = a$ avec $a \neq \pm \infty$ alors tu as une asymptote horizontale d'équation $y=a$ .

Si la limite d'un côté de zéro est différente de celle de l'autre côté, alors tu as deux asymptotes horizontales (respectivement au voisinage de plus/moins l'infini).

Si une des deux limites est infinie, alors tu n'as qu'une seule asymptote horizontale (du côté où la limite est finie).

Enfin si les deux limites sont infinies tu n'as pas d'asymptote horizontale.

Donc si c'est le sinus qui te gêne, je te propose de procéder en deux temps.

Cherche d'abord les limites à l'infini de $\frac{1}{x}$ (notons-les $l_{1}$ et $l_{2}$ ), ça ne devrait pas te poser de problème.

Ensuite regarde ce que tu peux faire de ces limites avec le sinus.
Autrement dit : peux-tu calculer $\sin{(l_{1})}$ et $\sin{(l_{2})}$ ?

Si oui, alors tu as ta réponse !

PS: GV, tu m'as grillé le temps que je mette en forme mon pavé, et que j'y ajoute ce qu'il fallait de pédagogie...
Mais qu'est-ce que tu fais connecté à c't'heure ?!

PPS: si tu te poses la question Korhil, ma solution est exactement la même que celle de GV mais je développe juste l'idée (une fois ça compris, tu peux par après faire des changements de variable comme une brute de la même façon que lui).

La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)

Korhil

#19 14/06/2008 - 09h50

Hors ligne

Physique

Bon, je vais essayer de voir si j'ai bien compris!

1) $\lim_{x \to \pm \infty}{f(x)} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow \lim_{x \to \pm \infty} { \frac{1}{x} } = 0$

Donc la limite de $\frac{1}{x}$ est égale à 0 des deux côtés.

2) Si je suis ta logique, je calcule $\sin{0} = 0$ et je remplace pour rechercher la limite $\lim_{x \to \pm \infty}{f(x)} = x \sin{0} \Leftrightarrow \lim_{x \to \pm \infty} { x \times 0 } = 0$

Bon, je suis tout à fait d'accord avec vous. Sauf que, lorsque je trace le graphe sur ma calculatrice Y = X*sin(1/X) je me retrouve avec un graphe qui file en Y=1...

Je crois que j'ai encore un petit peu besoin de votre aide!

Elrond

#20 14/06/2008 - 09h55

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Physique

**oups**

Ce message a été édité par Elrond le 14/06/2008 à 09h57.

La théorie, c'est quand on sait tout et que rien ne fonctionne. La pratique, c'est quand tout fonctionne et que personne ne sait pourquoi. Ici, nous avons réuni théorie et pratique : Rien ne fonctionne... et personne ne sait pourquoi !
Un célèbre allemand tireur de langue

RévoX

#21 14/06/2008 - 14h46

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Physique

Hé là bas camarade, grosse erreur.
Effectivement lorsque x tend vers l'infinie, 1/x tend vers zéro mais tu oublie que tu multiplie par x !
Et l'infini fois zéro c'est indéterminé ! Il faut donc lever cette indétermination par une étude plus approfondie du sinus.

Comme GV moi je ferais un changement de variable. Et donc étudier la limite en l'infini de $x * sin(\frac{1}{x})$ revient à étudier le limite orsque x tend vers zéro de $\frac{sin(x)}{x}$

Tu peux par exemple développer le sinus en série de Taylor et tu verras alors que quand $x \simeq 0$ alors $sin(x) \simeq x$ et donc ta limite de $\frac{sin(x)}{x}$ devient $\frac{x}{x} =1$

cqfd

Chanson populaire révolutionnaire
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Guillawme

#22 14/06/2008 - 15h05

Modérateur

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Biologie

Pour l'indétermination "zéro fois l'infini" je suis d'accord, ça doit être étudié sinon on ne prouve rien.

Mais pour ton histoire de série de Taylor je pense que c'est un peu ambitieux, car il me semble que Korhil est au lycée, or on n'apprend pas ça dans ces classes...

Par contre l'approximation $\sin{(x)} \simeq x$ quand $x$ est voisin de zéro on la connaît au lycée (sans savoir la démontrer) mais les profs de maths n'en parlent pas (c'est en physique qu'on la donne).

Bref, pour le prof de maths mieux vaut à mon avis privilégier la solution avec le changement de variable.

Parce qu'en fait $\lim_{x \to 0}\frac{\sin{(x)}}{x} = f'(x)$ si f est la fonction qui associe sin(x) à x.
Et youpla boum ! Rien que ça doit te donner ta solution, si tu connais tes tables de dérivation.

La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)

Korhil

#23 14/06/2008 - 15h27

Hors ligne

Physique

Ok! Un grand merci en tous cas.
J'ai eu l'idée de rapprocher l'équation au théorème du sandwich (ça doit être le nom lycéen de la série de Taylor) où $\lim_{x \to 0}\frac{\sin{(x)}}{x} = 1$ mais je n'ai pas réussi à le faire.

Bon, une dernière question et après j'arrête de vous ennuyer: RévoX, tu passes comment de $x * sin(\frac{1}{x})$ à $\frac{sin(x)}{x}$ ? J'ai beau me triturer les méninges, je ne vois pas comment ça se fait.

Allez, c'est promis, j'arrête après ceci et je vous remercie d'avance!

Elrond

#24 14/06/2008 - 16h41

Hors ligne

Physique

C'est grace au changement de variable, comme te le conseillais GV :

Si tu remplaces x par 1/x dans ton équation, tu as :
$f(x) = x*sin(\frac{1}{x}) \\<br /> f(x) = \frac{1}{x}*sin(\frac{x}{1}) \\<br /> f(x) = \frac{1}{x}*sin(x) \\<br /> f(x) = \frac{sin(x)}{x}$

La théorie, c'est quand on sait tout et que rien ne fonctionne. La pratique, c'est quand tout fonctionne et que personne ne sait pourquoi. Ici, nous avons réuni théorie et pratique : Rien ne fonctionne... et personne ne sait pourquoi !
Un célèbre allemand tireur de langue

RévoX

#25 14/06/2008 - 19h39

Administrateur

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Physique

Ah en fait je me souviens qu'au lycée il y avait une loi qui disant que quand on avait 0/0 ou l'infini/infinie il suffit de dériver le nominateur et le dénominateur pour lever l'indétermination. On arrive donc à $\frac{cos (x)}{1}$ on remplace x par 0 et on obtient 1/1=1

cqfd

Chanson populaire révolutionnaire
"¡El pueblo unido, jamás será vencido!"

Guillawme

#26 14/06/2008 - 19h48

Modérateur

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Biologie

Ah je ne savais pas que ça fonctionnait dans tous les cas. Intéressant.

En fait la méthode que je connaissais est d'identifier la limite recherchée à un taux de variation (éventuellement par un changement de variable, comme on l'a fait ici), ce qui permet de la calculer si on sait dériver la fonction concernée.
Techniquement c'est pareil, mais cette approche n'est pas généralisée.

La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)

General Vans

#27 15/06/2008 - 00h09

Codeur

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Mathématiques

Le coup du $\frac{sin(x)}{x}$ on peut le voir tout simplement par le taux de variation ou alors en disant que sinx équivaut à x au voisinage de 0 et là paf.

euh Revox à mon avis ta méthode est fausse, j'ai pas le courage de vérifier mais ça me parait trop beau un coup comme ça pour qu'on n'en parle pas plus.
Cela dit pourquoi pas...

J'ai eu l'idée de rapprocher l'équation au théorème du sandwich

Non ce n'est pas la même chose que le théroème de Taylor, avec la méthode d'encadrement ça te donne

-1/x <= f(x) <= 1/x et en 0 ça nous aide pas trop donc c'est inapplicable ici.

Sauf en utilisant le fait que sin(x) < x (par convexité de sinus sur un intervalle de longueur π centré en 0, tu peux aussi le montrer en étudiant la fonction sinx - x et en voyant qu'elle ne s'annule pas autour de0) auquel cas tu aurais bien 1 <= f(x) <= 1.

Mais qu'est-ce que tu fais connecté à c't'heure

Bah le foot, tout ça tout ça

General Vans

#28 15/06/2008 - 00h11

Codeur

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Mais c'est quoi qui t'embête dans l'exo au juste ?

Parce qu'on parle de la limite en 0 mais le soucis n'est pas là apparemment ?

Korhil

#29 15/06/2008 - 08h46

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Mon problème c'était simplement remplacé le $f(x) = x*sin(\frac{1}{x})$ par $f(x) = \frac{sin(x)}{x}$ . Je ne comprennais pas comment oublier ce $\sin(\frac{1} {x})$ .

En tous cas merci, je comprends maintenant!

MarbolanGos

#30 16/06/2008 - 09h28

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Chimie

J'arrive après la bataille dommage j'aurai pu aider pour une fois

D'ailleurs pour la limite en l'infini on a les développement limités de sin(1/x) :
$sin(1/x) = x - x^{3}/6 +\cdots$

Donc la limite en l'infini c'est : $1 - \frac{1}{6x^{3}}$ ~ 1

Hum c'était quoi la question j'ai déjà oublié

Ce message a été édité par MarbolanGos le 16/06/2008 à 09h28.

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