Hypo-thèses - La géométrie projective

RSS > La géométrie projective, Ou "Si Euclide avait pris des photos..."

NoHaR	#1 29/06/2008 - 01h33
Validateur Hors ligne Informatique	Nota Ce post est un "brouillon" dans le sens où il sera écrit en plusieurs fois. Il s'agit d'un petit "cours" de découverte et d'initiation à la géométrie projective : un ensemble théorique très utilisé dans le domaine de la Vision par Ordinateur (entre autres), puisque son but est de décrire les interactions entre le monde réel (en 3 dimensions) et sa projection sur un plan (celui de la rétine ou d'une image, par exemple). Si vous désirez aller plus loin, je vous invite à découvrir le livre de R. Hartley et A. Zisserman : "Multiple View Geometry in Computer Vision" (Cambridge University Press), qui traite des géométries projective et épipolaire, ainsi que de leurs applications à la vision par ordinateur. Les vérifications des propriétés et théorèmes qui sont énoncés ici sont laissées au lecteur en exercice. Introduction Qu'est-ce que l'horizon ? Géométriquement parlant, je veux dire : comment définiriez-vous l'horizon ? source photo : sharkdesign.com Si l'on part sur des remarques simples, on pourrait le caractériser comme ceci : []Il s'agit d'une droite. []Il est situé à une distance infinie de celui qui l'observe. []Toutes les droites "du sol" ou "du ciel" qui sont parallèles entre elles s'y croisent (les bords d'une route, les rails d'un train, la trainée d'un avion...). La dernière remarque nous montre bien que, selon les concepts de la géométrie Euclidienne, l'horizon n'a en fait aucune raison d'exister, puisque, "euclidiennement parlant", et par définition, deux droites parallèles sont appelées ainsi car elles ne se coupent jamais. Et pourtant, il existe, puisque le soleil s'y couche ! Cela nous montre clairement que nous ne voyons pas l'espace qui nous environne en perspective cavalière, et que notre perception du monde obéit à des lois géométriques non-euclidiennes. A partir de ces quelques observations, nous pouvons formuler la première de ces lois : Deux droites sont toujours sécantes en un point, quitte à ce que celui-ci se trouve "à l'infini". Sur une image (ce qui inclut les images du plan rétinien), on peut identifier très intuitivement quelques-uns de ces points "à l'infini". En particulier, on sait reconnaître ceux qui composent la ligne d'horizon (puisque nous leur avons donné un nom !) : ce sont les points en lesquels se croisent les "droites parallèles" du sol. Nous venons donc de mettre le doigt sur les bases d'une géométrie naturelle : celle au moyen de laquelle, sans le savoir, nous raisonnons constamment pour situer les objets dans notre environnement. Il s'agit de la géométrie projective. Nous allons la découvrir ensemble. Projections et coordonnées homogènes Tout d'abord, plaçons-nous dans une situation que décrit la géométrie projective. Soit $\mathcal{P}$ le plan de $\mathbb{R}^3$ d'équation $z=1$ . Nous allons étudier les projections des objets de $\mathbb{R}^3$ sur $\mathcal{P}$ , selon des rayons qui passent tous par l'origine du repère 3D canonique $\left(O; x, y, z\right)$ (voir la Fig. 1). Fig. 1 : Situation projective dans $\mathbb{R}^3$ . Intéressons-nous maintenant aux points de $\mathcal{P}$ . Par définition, on a : $\mathcal{P}=\left\lbrace \left. \mathbf{m} = \begin{pmatrix}x_{\mathbf{m}} \\ y_{\mathbf{m}} \\ z_{\mathbf{m}}\end{pmatrix} \right\| z_{\mathbf{m}} = 1\right\rbrace .$ Il est alors facile de démontrer la propriété suivante : Propriété 1 : Soit $\mathbf{M} = \begin{pmatrix}X, & Y, & Z\end{pmatrix}^t \; \in \mathbb{R}^3 \setminus \left\lbrace O \right\rbrace$ . Le point $\mathbf{m}$ est le projeté de $\mathbf{M}$ sur $\mathcal{P}$ selon la droite $\left( O\mathbf{M} \right)$ si, et seulement si : $\mathbf{m} = \begin{pmatrix}\frac{X}{Z}, & \frac{Y}{Z} ,& 1\end{pmatrix}^t .$ Projectivement parlant, les points $\mathbf{M}$ et $\mathbf{m}$ sont équivalents, car ils appartiennent au même "rayon de projection". C'est pourquoi les coordonnées de tous les points de l'espace (hormis $O$ ) seront ramenées aux coordonnées de leur projeté sur $\mathcal{P}$ , appelées coordonnées homogènes. On notera, au passage, l'expression générale d'un rayon issu de $\mathbf{m}$ : $\left(O\mathbf{m}\right) = \left\lbrace \left. M = \begin{pmatrix}k\, x_{\mathbf{m}}\\ k\, y_{\mathbf{m}}\\ k\end{pmatrix} \right\| k \in \mathbb{R}^ \right\rbrace.$ Droites et points : deux notions duales Coordonnées homogènes d'une droite Dans le plan $\mathbb{R}^2$ , une droite $\mathbf{d}$ est totalement décrite par l'équation $ax + by + c = 0$ . Dans ce cas, une représentation unique de $\mathbf{d}$ dans le plan projectif est simplement le vecteur $\begin{pmatrix}a,& b,& c\end{pmatrix}^t$ . Ce vecteur est composé des coordonnées homogènes de $\mathbf{d}$ . Si l'on s'en réfère à la Fig. 1, on remarque qu'une droite du plan $\mathcal{P}$ est en fait la projection de toutes les droites du plan de $\mathbb{R}^3$ (dont une portion est grisée sur la figure) défini par l'équation $(ka)x + (kb)y + (kc) = 0$ , avec $k\in\mathbb{R}^*$ . On notera l'analogie entre la forme générale du plan issu d'une droite de $\mathcal{P}$ et celle du rayon issu d'un point de $\mathcal{P}$ . Appartenances et intersections Grâce aux coordonnées homogènes, les relations entre points et droites en géométrie projective s'expriment toutes par relations entre vecteurs faisant intervenir le produit scalaire (noté $\cdot$ ), et le produit vectoriel (noté $\wedge$ ). Les démonstrations des théorèmes qui suivent sont laissées en exercice, car elles sont une bonne initiation aux mécanismes de la géométrie projective. Les corrections figureront dans le sujet associé à cet article sur le forum. Les points et droites sont tous exprimés en coordonnées homogènes. Théorème 1 : Le point $\mathbf{m}$ appartient à la droite $\mathbf{d}$ si, et seulement si $\mathbf{m}^t\cdot\mathbf{d} = 0$ . Théorème 2 : L'intersection des droites $\mathbf{d}_1$ et $\mathbf{d}_2$ est le point $\mathbf{m} = \mathbf{d}_1 \wedge \mathbf{d}_2.$ Théorème 3 : La droite passant par les points $\mathbf{m}_1$ et $\mathbf{m}_2$ est $\mathbf{d} = \mathbf{m}_1 \wedge \mathbf{m}_2.$ Dualité Comme on peut le remarquer, les points et les droites peuvent être intervertis dans les théorèmes 2 et 3. Cela illustre le fait que les notions de point et de droite en géométrie projective sont duales. Ainsi, toute propriété concernant les points, sera aussi vérifiée pour les droites, et inversement. Aperçu global de la géométrie projective En géométrie projective, on s'intéressera presque uniquement aux intersections de droites, et aux appartenances de points à des droites. Les notions de "distances", de "parallélisme", et de "mesures d'angles" n'ont plus cours. On pourra aussi étudier les projections de coniques (hyperboles, paraboles, cercles et ellipses). On considèrera dans ce cas l'appartenance d'un point à une conique, et la notion de "droite tangente à la courbe en un point". Ce message a été édité par NoHaR le 29/06/2008 à 19h08. La facilité : c'est ne pas essayer de ne pas vivre en contradiction avec les idées que l'on ne défend pas...
RévoX	#2 29/06/2008 - 09h54
Administrateur Hors ligne Courriel Site Web Physique	Deux droites parallèles se croisent en l'infini. Et elles se croisent aussi bien en $+\infty$ que en $-\infty$ or tout le monde sait que deux droites ayant deux points communs sont confondues donc toutes les droites parallèle entre elles sont confondues Cherchez l'erreur... Merci pour cet article, bonne continuation PS Message mis en article ! Chanson populaire révolutionnaire "¡El pueblo unido, jamás será vencido!"
NoHaR	#3 29/06/2008 - 12h50
Validateur Hors ligne Informatique	RévoX @ 29/06/2008 - 09h54 a dit: Deux droites parallèles se croisent en l'infini. Et elles se croisent aussi bien en $+\infty$ que en $-\infty$ or tout le monde sait que deux droites ayant deux points communs sont confondues donc toutes les droites parallèle entre elles sont confondues Cherchez l'erreur... Merci pour cet article, bonne continuation PS Message mis en article ! C'est pour ça qu'il faut être prudent sur la définition des "points à l'infini", qui n'ont pas de sens en géométrie euclidienne . PS Rha mince il va vraiment falloir que je le continue alors ! La facilité : c'est ne pas essayer de ne pas vivre en contradiction avec les idées que l'on ne défend pas...
mhdi	#4 29/06/2008 - 15h57
Hors ligne Courriel Mathématiques	Moi j'aurais préféré un article sur la géométrie euclidienne :-°
11TLP	#5 30/06/2008 - 17h21
Hors ligne Courriel Mathématiques	Révox, t'utilises une propriété de géométrie non euclidienne et une autre de géométrie euclidienne, elle est là l'erreur Sinon l'erreur serait que, comme tout plan est constitué d'une infinité de droites parallèles, alors si elles sont confondues le plan se ramène à une droite ... lol top 100 francophone, j'ai la flemme de m'inscrire en mondial
Meianki	#6 01/07/2008 - 02h10
Hors ligne Mathématiques	On peut peut-être aussi considérer l'infini (plus ou moins) comme un point unique ce qui revient à assimiler la droite à un cercle... hum c'est pas clair mais bon... Il faudrait démontrer déjà qu'on peut projeter continuement un demi cercle sur une demi droite (ça revient à considérer de la continuité en termes d'epsilons je pense). En ce cas le point (0,1), le sommet du cercle est projeté à la fois à l'infini "positif" pour le demi cercle de droite et à l'infini "négatif" pour le demi cercle de gauche... Bon je m'enfonce peut-être mais à la base je voulais faire une ou deux remarques sur le cours (que je compte suivre avec assiduité ) : "Deux droites sont toujours sécantes en un point, quitte à ce que celui-ci se trouve "à l'infini"." Dans un plan d'accord mais dans l'espace... Si les deux droites sont orthogonales non sécante projetées sur un plan parallèle à l'une des deux (et donc forcément orthogonal à l'autre) alors la projection de la première sera une droite, et la projection de la seconde sera un point distinct de la droite projetée puisqu'il y avait une orthogonalité sans concourrance dans l'espace... Ou alors j'ai loupé un épisode Sinon au niveau des produits scalaire et vectoriel, on les appliques habituellement à des vecteurs, c'est juste une "nouvelle" définition (mathématiquement parlant bien entendu puisque les physiciens/chimies et autres n'auront même pas remarqué le changement ) en changeant les ensembles de départ et d'arrivé des fonctions" produit scalaire et vectoriel? Ou bien c'est plus subtile et lié à la nouvelle nature de géométrie?
NoHaR	#7 01/07/2008 - 11h37
Validateur Hors ligne Informatique	Alors ce sont effectivement des questions très intéressantes, qui me confirment qu'il va falloir que j'approfondisse ce que j'ai déjà dit avant d'aller plus loin. J'ai omis de dire que cette propriété ne s'applique qu'au "plan projectif" $\mathbb{P}^2$ , qui est en fait $\mathcal{P}$ muni du repère $(O, x, y)$ dans lequel tout est exprimé en coordonnées homogènes (c'est-à-dire : $\mathbb{R}^2$ dont le repère est augmenté d'une troisième coordonnée, mais pas d'une troisième dimension.). De ce point de vue là : deux droites de $\mathbb{P}^2$ sont toujours sécantes en un point, quitte à ce que celui-ci corresponde à un point à l'infini. Si tu veux passer dans l'espace, il faut alors considérer l'espace projectif $\mathbb{P}^3$ , qui est le support sur lequel on projette $\mathbb{R}^4$ (c'est moins facile à représenter mais avec un peu d'imagination on y arrive)... Dans ce cas, le théorème serait : "deux hyperdroites (donc ici deux plans) se coupent toujours en un hyperpoint (ici une droite), quitte à ce que celui-ci soit situé à l'infini". Cette dernière formulation permet en fait de généraliser la géométrie projective à un espace de dimension finie quelconque . Si je reste dans $\mathbb{P}^2$ c'est parce que la projection de l'espace réel sur ce plan projectif, correspond intuitivement à une "prise de vue" de $\mathbb{R}^3$ (avec un appareil photo dont le centre focal serait $O$ ), mais on y viendra plus tard ). Pour ce qui est des produits scalaires et verctoriels sur $\mathbb{P}^2$ : ce sont les produits scalaires et vectoriels canoniques de $\mathbb{R}^3$ , donc ceux que tout le monde connaît . Ca ne change pas les espaces de départ et d'arrivée à partir du moment où l'on considère qu'un point et une droite sont représentés par des 3-vecteurs grâce aux coordonnées homogènes (on "homogénéise" les représentations pour pouvoir travailler avec, en gros ). Ce message a été édité par NoHaR le 01/07/2008 à 13h50. La facilité : c'est ne pas essayer de ne pas vivre en contradiction avec les idées que l'on ne défend pas...
Guillawme	#8 01/07/2008 - 13h41
Modérateur Hors ligne Biologie	Meianki @ 01/07/2008 - 02h10 a dit: Si les deux droites sont orthogonales non sécante projetées sur un plan parallèle à l'une des deux (et donc forcément orthogonal à l'autre) C'est pas faux ce que tu dis là ? Un dessin (j'ai fait ce que j'ai pu...) pour montrer ce à quoi je pense : Le plan est selon les axes z et y (donc orthogonal à x). La droite 1 est selon z (orthogonale à x et y). La droite 2 est selon y (orthogonale à x et z). Donc (1) et (2) sont orthogonales et non sécantes, et pourtant elles sont toutes les deux parallèles au plan (mon dessin n'est peut-être pas extra)... La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)
Meianki	#9 01/07/2008 - 13h58
Hors ligne Mathématiques	Oui en effet... par le simple fait qu'un plan parallèle à une droite ne défini pas le plan. Il faut définir le plan comme orthogonal à l'une il est alors sûr que la seconde ne touchera pas le plan ou sera confondue avec le plan. Bien vu
NoHaR	#10 01/07/2008 - 14h03
Validateur Hors ligne Informatique	D'ailleurs, la projection d'une droite orthogonale au plan de projection est... une droite. Pour que ça donne un point, il faudrait que la droite passe par l'origine : elle serait donc projectivement parlant considérée comme un point unique (puisque tous les points d'un même rayon sont équivalents...), et non comme une droite, ce qui écarte le problème de l'intersection (qui devient ainsi un problème d'appartenance, soluble par un produit scalaire) La facilité : c'est ne pas essayer de ne pas vivre en contradiction avec les idées que l'on ne défend pas...
Meianki	#11 01/07/2008 - 14h51
Hors ligne Mathématiques	ha mais oui! Je considérais une "bête" projection orthogonale qui n'est pas du tout en rapport avec... tout ça Par contre j'ai une question, il y a plein de cas de projection en fonction du plan P non? Pourquoi alors considérer ce cas particulier (z=1)?
NoHaR	#12 01/07/2008 - 15h03
Validateur Hors ligne Informatique	Tout simplement parce que l'on se donne un repère 3D avec un plan (Oxy) parallèle au plan de projection, de manière à ce que ça fonctionne (pour les coordonnées homogènes je veux dire). Là, prendre le plan z=1 dans l'espace réel, c'était l'exemple le plus simple pour introduire le bienfondé des coordonnées homogènes. On pourra toujours se reporter à ce cas avec des transformations rigides. Maintenant, si on essaye de faire varier le z qui sert à situer le plan de projection, ça revient à faire varier la "profondeur de champ", ou "la distance focale", ce qui correspond à un zoom . M'enfin là c'est faire de la géométrie projective "pour étudier le mécanisme", parce que lorsque l'on cherche à l'appliquer, on revient toujours aux coordonnées homogènes avec z=1. En gros : on choisira le repère 3D là "par rapport au plan", et non l'inverse . Si jamais le cours va jusqu'à parler d'applications et de modélisations de caméras, on fera à ce moment là la distinction entre le repère 3D de l'espace réel (le repère-monde), et celui d'où partiront les rayons de projection (le repère-caméra). La facilité : c'est ne pas essayer de ne pas vivre en contradiction avec les idées que l'on ne défend pas...
Meianki	#13 02/07/2008 - 15h41
Hors ligne Mathématiques	Que sont précisément des transformations rigides? Des choses particulières à la géométrie projective ou de simples transformations de l'espace? Si c'est le deuxième cas est-ce que ça se limite aux isométries? Ou alors est-ce plus large ou moins large? En gros "koitesskecé"? Ce message a été édité par Meianki le 02/07/2008 à 15h42.
NoHaR	#14 02/07/2008 - 15h50
Validateur Hors ligne Informatique	Une transformation rigide, c'est une isométrie 3D : rotation3D (autour des 3 axes) + translation. Je préfère cette appellation parce qu'on comprend tout de suite de quoi on parle : une transformation où la structure 3D de l'objet reste identique, sans application d'un facteur d'échelle. En fait il y a assez peu de choses "particulières à la géométrie projective", en dehors de l'utilisation omniprésente des coordonnées homogènes, et les homographies (qui désignent en fait une transformation en coordonnées homogènes au sens général) que l'on verra un peu plus tard. Ce message a été édité par NoHaR le 02/07/2008 à 15h52. La facilité : c'est ne pas essayer de ne pas vivre en contradiction avec les idées que l'on ne défend pas...

NoHaR

#1 29/06/2008 - 01h33

Validateur

Hors ligne

Informatique

Nota

Ce post est un "brouillon" dans le sens où il sera écrit en plusieurs fois.

Il s'agit d'un petit "cours" de découverte et d'initiation à la géométrie projective : un ensemble théorique très utilisé dans le domaine de la Vision par Ordinateur (entre autres), puisque son but est de décrire les interactions entre le monde réel (en 3 dimensions) et sa projection sur un plan (celui de la rétine ou d'une image, par exemple).

Si vous désirez aller plus loin, je vous invite à découvrir le livre de R. Hartley et A. Zisserman : "Multiple View Geometry in Computer Vision" (Cambridge University Press), qui traite des géométries projective et épipolaire, ainsi que de leurs applications à la vision par ordinateur.

Les vérifications des propriétés et théorèmes qui sont énoncés ici sont laissées au lecteur en exercice.

Introduction

Qu'est-ce que l'horizon ?
Géométriquement parlant, je veux dire : comment définiriez-vous l'horizon ?

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source photo : sharkdesign.com

Si l'on part sur des remarques simples, on pourrait le caractériser comme ceci :

[*]Il s'agit d'une droite.
[*]Il est situé à une distance infinie de celui qui l'observe.
[*]Toutes les droites "du sol" ou "du ciel" qui sont parallèles entre elles s'y croisent (les bords d'une route, les rails d'un train, la trainée d'un avion...).

La dernière remarque nous montre bien que, selon les concepts de la géométrie Euclidienne, l'horizon n'a en fait aucune raison d'exister, puisque, "euclidiennement parlant", et par définition, deux droites parallèles sont appelées ainsi car elles ne se coupent jamais.

Et pourtant, il existe, puisque le soleil s'y couche !

Cela nous montre clairement que nous ne voyons pas l'espace qui nous environne en perspective cavalière, et que notre perception du monde obéit à des lois géométriques non-euclidiennes.

A partir de ces quelques observations, nous pouvons formuler la première de ces lois :
Deux droites sont toujours sécantes en un point, quitte à ce que celui-ci se trouve "à l'infini".

Sur une image (ce qui inclut les images du plan rétinien), on peut identifier très intuitivement quelques-uns de ces points "à l'infini". En particulier, on sait reconnaître ceux qui composent la ligne d'horizon (puisque nous leur avons donné un nom !) : ce sont les points en lesquels se croisent les "droites parallèles" du sol.
Nous venons donc de mettre le doigt sur les bases d'une géométrie naturelle : celle au moyen de laquelle, sans le savoir, nous raisonnons constamment pour situer les objets dans notre environnement.

Il s'agit de la géométrie projective. Nous allons la découvrir ensemble.

Projections et coordonnées homogènes

Tout d'abord, plaçons-nous dans une situation que décrit la géométrie projective.
Soit $\mathcal{P}$ le plan de $\mathbb{R}^3$ d'équation $z=1$ .

Nous allons étudier les projections des objets de $\mathbb{R}^3$ sur $\mathcal{P}$ , selon des rayons qui passent tous par l'origine du repère 3D canonique $\left(O; x, y, z\right)$ (voir la Fig. 1).

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Fig. 1 : Situation projective dans $\mathbb{R}^3$ .

Intéressons-nous maintenant aux points de $\mathcal{P}$ .
Par définition, on a :
$\mathcal{P}=\left\lbrace \left. \mathbf{m} = \begin{pmatrix}x_{\mathbf{m}} \\ y_{\mathbf{m}} \\ z_{\mathbf{m}}\end{pmatrix} \right| z_{\mathbf{m}} = 1\right\rbrace .$
Il est alors facile de démontrer la propriété suivante :

Propriété 1 : Soit $\mathbf{M} = \begin{pmatrix}X, & Y, & Z\end{pmatrix}^t \; \in \mathbb{R}^3 \setminus \left\lbrace O \right\rbrace$ .
Le point $\mathbf{m}$ est le projeté de $\mathbf{M}$ sur $\mathcal{P}$ selon la droite $\left( O\mathbf{M} \right)$ si, et seulement si :
$\mathbf{m} = \begin{pmatrix}\frac{X}{Z}, & \frac{Y}{Z} ,& 1\end{pmatrix}^t .$

Projectivement parlant, les points $\mathbf{M}$ et $\mathbf{m}$ sont équivalents, car ils appartiennent au même "rayon de projection".
C'est pourquoi les coordonnées de tous les points de l'espace (hormis $O$ ) seront ramenées aux coordonnées de leur projeté sur $\mathcal{P}$ , appelées coordonnées homogènes.

On notera, au passage, l'expression générale d'un rayon issu de $\mathbf{m}$ :
$\left(O\mathbf{m}\right) = \left\lbrace \left. M = \begin{pmatrix}k\, x_{\mathbf{m}}\\ k\, y_{\mathbf{m}}\\ k\end{pmatrix} \right| k \in \mathbb{R}^* \right\rbrace.$

Droites et points : deux notions duales

Coordonnées homogènes d'une droite

Dans le plan $\mathbb{R}^2$ , une droite $\mathbf{d}$ est totalement décrite par l'équation $ax + by + c = 0$ . Dans ce cas, une représentation unique de $\mathbf{d}$ dans le plan projectif est simplement le vecteur $\begin{pmatrix}a,& b,& c\end{pmatrix}^t$ .

Ce vecteur est composé des coordonnées homogènes de $\mathbf{d}$ .

Si l'on s'en réfère à la Fig. 1, on remarque qu'une droite du plan $\mathcal{P}$ est en fait la projection de toutes les droites du plan de $\mathbb{R}^3$ (dont une portion est grisée sur la figure) défini par l'équation $(ka)x + (kb)y + (kc) = 0$ , avec $k\in\mathbb{R}^*$ .
On notera l'analogie entre la forme générale du plan issu d'une droite de $\mathcal{P}$ et celle du rayon issu d'un point de $\mathcal{P}$ .

Appartenances et intersections

Grâce aux coordonnées homogènes, les relations entre points et droites en géométrie projective s'expriment toutes par relations entre vecteurs faisant intervenir le produit scalaire (noté $\cdot$ ), et le produit vectoriel (noté $\wedge$ ).
Les démonstrations des théorèmes qui suivent sont laissées en exercice, car elles sont une bonne initiation aux mécanismes de la géométrie projective. Les corrections figureront dans le sujet associé à cet article sur le forum.

Les points et droites sont tous exprimés en coordonnées homogènes.

Théorème 1 : Le point $\mathbf{m}$ appartient à la droite $\mathbf{d}$ si, et seulement si $\mathbf{m}^t\cdot\mathbf{d} = 0$ .

Théorème 2 : L'intersection des droites $\mathbf{d}_1$ et $\mathbf{d}_2$ est le point $\mathbf{m} = \mathbf{d}_1 \wedge \mathbf{d}_2.$

Théorème 3 : La droite passant par les points $\mathbf{m}_1$ et $\mathbf{m}_2$ est $\mathbf{d} = \mathbf{m}_1 \wedge \mathbf{m}_2.$

Dualité

Comme on peut le remarquer, les points et les droites peuvent être intervertis dans les théorèmes 2 et 3. Cela illustre le fait que les notions de point et de droite en géométrie projective sont duales. Ainsi, toute propriété concernant les points, sera aussi vérifiée pour les droites, et inversement.

Aperçu global de la géométrie projective

En géométrie projective, on s'intéressera presque uniquement aux intersections de droites, et aux appartenances de points à des droites.
Les notions de "distances", de "parallélisme", et de "mesures d'angles" n'ont plus cours.

On pourra aussi étudier les projections de coniques (hyperboles, paraboles, cercles et ellipses). On considèrera dans ce cas l'appartenance d'un point à une conique, et la notion de "droite tangente à la courbe en un point".

Ce message a été édité par NoHaR le 29/06/2008 à 19h08.

La facilité : c'est ne pas essayer de ne pas vivre en contradiction avec les idées que l'on ne défend pas...

RévoX

#2 29/06/2008 - 09h54

Administrateur

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Physique

Deux droites parallèles se croisent en l'infini. Et elles se croisent aussi bien en $+\infty$ que en $-\infty$ or tout le monde sait que deux droites ayant deux points communs sont confondues donc toutes les droites parallèle entre elles sont confondues

Cherchez l'erreur...

Merci pour cet article, bonne continuation

PS Message mis en article !

Chanson populaire révolutionnaire
"¡El pueblo unido, jamás será vencido!"

NoHaR

#3 29/06/2008 - 12h50

Validateur

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RévoX @ 29/06/2008 - 09h54 a dit:
Deux droites parallèles se croisent en l'infini. Et elles se croisent aussi bien en $+\infty$ que en $-\infty$ or tout le monde sait que deux droites ayant deux points communs sont confondues donc toutes les droites parallèle entre elles sont confondues Cherchez l'erreur...

Merci pour cet article, bonne continuation

PS Message mis en article !

C'est pour ça qu'il faut être prudent sur la définition des "points à l'infini", qui n'ont pas de sens en géométrie euclidienne

.

PS Rha mince il va vraiment falloir que je le continue alors !

La facilité : c'est ne pas essayer de ne pas vivre en contradiction avec les idées que l'on ne défend pas...

mhdi

#4 29/06/2008 - 15h57

Hors ligne Courriel

Mathématiques

Moi j'aurais préféré un article sur la géométrie euclidienne :-°

11TLP

#5 30/06/2008 - 17h21

Hors ligne Courriel

Mathématiques

Révox, t'utilises une propriété de géométrie non euclidienne et une autre de géométrie euclidienne, elle est là l'erreur

Sinon l'erreur serait que, comme tout plan est constitué d'une infinité de droites parallèles, alors si elles sont confondues le plan se ramène à une droite ... lol

top 100 francophone, j'ai la flemme de m'inscrire en mondial

Meianki

#6 01/07/2008 - 02h10

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Mathématiques

On peut peut-être aussi considérer l'infini (plus ou moins) comme un point unique ce qui revient à assimiler la droite à un cercle... hum c'est pas clair mais bon... Il faudrait démontrer déjà qu'on peut projeter continuement un demi cercle sur une demi droite (ça revient à considérer de la continuité en termes d'epsilons je pense). En ce cas le point (0,1), le sommet du cercle est projeté à la fois à l'infini "positif" pour le demi cercle de droite et à l'infini "négatif" pour le demi cercle de gauche...

Bon je m'enfonce peut-être mais à la base je voulais faire une ou deux remarques sur le cours (que je compte suivre avec assiduité

) :

"Deux droites sont toujours sécantes en un point, quitte à ce que celui-ci se trouve "à l'infini"."
Dans un plan d'accord mais dans l'espace...
Si les deux droites sont orthogonales non sécante projetées sur un plan parallèle à l'une des deux (et donc forcément orthogonal à l'autre) alors la projection de la première sera une droite, et la projection de la seconde sera un point distinct de la droite projetée puisqu'il y avait une orthogonalité sans concourrance dans l'espace...

Ou alors j'ai loupé un épisode

Sinon au niveau des produits scalaire et vectoriel, on les appliques habituellement à des vecteurs, c'est juste une "nouvelle" définition (mathématiquement parlant bien entendu puisque les physiciens/chimies et autres n'auront même pas remarqué le changement

) en changeant les ensembles de départ et d'arrivé des fonctions" produit scalaire et vectoriel? Ou bien c'est plus subtile et lié à la nouvelle nature de géométrie?

NoHaR

#7 01/07/2008 - 11h37

Validateur

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Informatique

Alors ce sont effectivement des questions très intéressantes, qui me confirment qu'il va falloir que j'approfondisse ce que j'ai déjà dit avant d'aller plus loin.

J'ai omis de dire que cette propriété ne s'applique qu'au "plan projectif" $\mathbb{P}^2$ , qui est en fait $\mathcal{P}$ muni du repère $(O, x, y)$ dans lequel tout est exprimé en coordonnées homogènes (c'est-à-dire : $\mathbb{R}^2$ dont le repère est augmenté d'une troisième coordonnée, mais pas d'une troisième dimension.).
De ce point de vue là : deux droites de $\mathbb{P}^2$ sont toujours sécantes en un point, quitte à ce que celui-ci corresponde à un point à l'infini.

Si tu veux passer dans l'espace, il faut alors considérer l'espace projectif $\mathbb{P}^3$ , qui est le support sur lequel on projette $\mathbb{R}^4$ (c'est moins facile à représenter mais avec un peu d'imagination on y arrive)...
Dans ce cas, le théorème serait : "deux hyperdroites (donc ici deux plans) se coupent toujours en un hyperpoint (ici une droite), quitte à ce que celui-ci soit situé à l'infini".

Cette dernière formulation permet en fait de généraliser la géométrie projective à un espace de dimension finie quelconque

.

Si je reste dans $\mathbb{P}^2$ c'est parce que la projection de l'espace réel sur ce plan projectif, correspond intuitivement à une "prise de vue" de $\mathbb{R}^3$ (avec un appareil photo dont le centre focal serait $O$ ), mais on y viendra plus tard

).

Pour ce qui est des produits scalaires et verctoriels sur $\mathbb{P}^2$ : ce sont les produits scalaires et vectoriels canoniques de $\mathbb{R}^3$ , donc ceux que tout le monde connaît

.
Ca ne change pas les espaces de départ et d'arrivée à partir du moment où l'on considère qu'un point et une droite sont représentés par des 3-vecteurs grâce aux coordonnées homogènes (on "homogénéise" les représentations pour pouvoir travailler avec, en gros

).

Ce message a été édité par NoHaR le 01/07/2008 à 13h50.

La facilité : c'est ne pas essayer de ne pas vivre en contradiction avec les idées que l'on ne défend pas...

Guillawme

#8 01/07/2008 - 13h41

Modérateur

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Biologie

Meianki @ 01/07/2008 - 02h10 a dit:
Si les deux droites sont orthogonales non sécante projetées sur un plan parallèle à l'une des deux (et donc forcément orthogonal à l'autre)

C'est pas faux ce que tu dis là ?

Un dessin (j'ai fait ce que j'ai pu...) pour montrer ce à quoi je pense :
Posted Image

Le plan est selon les axes z et y (donc orthogonal à x).
La droite 1 est selon z (orthogonale à x et y).
La droite 2 est selon y (orthogonale à x et z).

Donc (1) et (2) sont orthogonales et non sécantes, et pourtant elles sont toutes les deux parallèles au plan (mon dessin n'est peut-être pas extra)...

La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)

Meianki

#9 01/07/2008 - 13h58

Hors ligne

Mathématiques

Oui en effet... par le simple fait qu'un plan parallèle à une droite ne défini pas le plan. Il faut définir le plan comme orthogonal à l'une il est alors sûr que la seconde ne touchera pas le plan ou sera confondue avec le plan.
Bien vu

NoHaR

#10 01/07/2008 - 14h03

Validateur

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Informatique

D'ailleurs, la projection d'une droite orthogonale au plan de projection est... une droite.

Pour que ça donne un point, il faudrait que la droite passe par l'origine : elle serait donc projectivement parlant considérée comme un point unique (puisque tous les points d'un même rayon sont équivalents...), et non comme une droite, ce qui écarte le problème de l'intersection (qui devient ainsi un problème d'appartenance, soluble par un produit scalaire)

La facilité : c'est ne pas essayer de ne pas vivre en contradiction avec les idées que l'on ne défend pas...

Meianki

#11 01/07/2008 - 14h51

Hors ligne

Mathématiques

ha mais oui! Je considérais une "bête" projection orthogonale qui n'est pas du tout en rapport avec... tout ça

Par contre j'ai une question, il y a plein de cas de projection en fonction du plan P non? Pourquoi alors considérer ce cas particulier (z=1)?

NoHaR

#12 01/07/2008 - 15h03

Validateur

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Informatique

Tout simplement parce que l'on se donne un repère 3D avec un plan (Oxy) parallèle au plan de projection, de manière à ce que ça fonctionne (pour les coordonnées homogènes je veux dire).

Là, prendre le plan z=1 dans l'espace réel, c'était l'exemple le plus simple pour introduire le bienfondé des coordonnées homogènes.
On pourra toujours se reporter à ce cas avec des transformations rigides.

Maintenant, si on essaye de faire varier le z qui sert à situer le plan de projection, ça revient à faire varier la "profondeur de champ", ou "la distance focale", ce qui correspond à un zoom

.
M'enfin là c'est faire de la géométrie projective "pour étudier le mécanisme", parce que lorsque l'on cherche à l'appliquer, on revient toujours aux coordonnées homogènes avec z=1.

En gros : on choisira le repère 3D là "par rapport au plan", et non l'inverse

.

Si jamais le cours va jusqu'à parler d'applications et de modélisations de caméras, on fera à ce moment là la distinction entre le repère 3D de l'espace réel (le repère-monde), et celui d'où partiront les rayons de projection (le repère-caméra).

La facilité : c'est ne pas essayer de ne pas vivre en contradiction avec les idées que l'on ne défend pas...

Meianki

#13 02/07/2008 - 15h41

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Mathématiques

Que sont précisément des transformations rigides?
Des choses particulières à la géométrie projective ou de simples transformations de l'espace?
Si c'est le deuxième cas est-ce que ça se limite aux isométries?
Ou alors est-ce plus large ou moins large?

En gros "koitesskecé"?

Ce message a été édité par Meianki le 02/07/2008 à 15h42.

NoHaR

#14 02/07/2008 - 15h50

Validateur

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Informatique

Une transformation rigide, c'est une isométrie 3D : rotation3D (autour des 3 axes) + translation.

Je préfère cette appellation parce qu'on comprend tout de suite de quoi on parle : une transformation où la structure 3D de l'objet reste identique, sans application d'un facteur d'échelle.

En fait il y a assez peu de choses "particulières à la géométrie projective", en dehors de l'utilisation omniprésente des coordonnées homogènes, et les homographies (qui désignent en fait une transformation en coordonnées homogènes au sens général) que l'on verra un peu plus tard.

Ce message a été édité par NoHaR le 02/07/2008 à 15h52.

La facilité : c'est ne pas essayer de ne pas vivre en contradiction avec les idées que l'on ne défend pas...

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