Hypo-thèses - Festival de la Géométrie

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mhdi	#1 03/07/2008 - 21h39
Hors ligne Courriel Mathématiques	Salut à tous, J'ai remarqué qu'on ne parle pas trop de géométrie euclidienne sur le forum. Dommage! C'est pourtant un des domaines en mathématiques où les problèmes les plus alambiqués peuvent être résolus très élégamment. C'est pourquoi je vous propose ce petit jeu de l'été. Histoire de ne pas rouiller, ici seront postés des défis de géométrie, qu'on essaiera de résoudre. Seulement, pour éviter le désordre, voici quelques règles à respecter : 1)Ici ne seront postés que des problèmes de la géométrie classique ; pas de 3D, etc. 2)On poste un seul problème à la fois. 3)Celui qui résout le problème du moment peut poster un exo ou laisser la main. 4)Si aucun exo n'a pas été posté pendant 12h, n'importe qui peut prendre la main. 5)Si personne ne poste la solution au bout de 12h, le posteur devra donner un indice. 6)Au bout de 2 indices, la solution complète devra être postée. 7)Si le posteur ne confirme pas la solution de quelqu'un au bout de 12h, ce derier prend la main automatiquement. 5)Les exercices devront être des exercices auxquels le plus de personnes pourront participer. Donc, prière de ne pas poster un exo qui requiert des connaissances dépassant celle d'un élève première (ce qui n'empêche pas les exercices d'être extrêment difficiles). 6)Celui qui poste un exo devra préciser le niveau de difficulté : * pour facile; pour moyen; * pour difficile. 7)Il serait préférable que les exercices soient postés par ordre croissant (du facile au difficile) 8)Les solutions devront être postés entre la balise [spoil]; les indices aussi. N.B:La liste ci-dessus sera éditée au fur et à mesure, donc, n'oubliez pas de la consulter de temps en temps. ----------- Pour l'instant, je n'ai pas d'exercice (facile). Je posterai lorsque je trouverai qqc d'intéressant. Entre temps, vous pouvez poster. Ce message a été édité par mhdi le 03/07/2008 à 21h54.
mhdi	#2 03/07/2008 - 21h54
Hors ligne Courriel Mathématiques	Hop! Premier exercice : Niveau de difficulté : * [OX) et [OY) et [OZ) sont trois demi-droites tels que : XÔY=YÔZ=60° Démontrez que si on a 3 points A,B et C alignés qui appartiennent à [OX) et [OY) et [OZ), 1/OB=1/OA+1/OC Ce message a été édité par mhdi le 03/07/2008 à 21h54.
mhdi	#3 04/07/2008 - 12h02
Hors ligne Courriel Mathématiques	SpoilerRappel : La surface du triangle $AOB$ est $S=\frac{sin\hat{AOB} \times OA \times OB}{2}$ Juste pour savoir, est-ce que quelqu'un est intéressé par le sujet? Ce message a été édité par mhdi le 04/07/2008 à 13h30.
Guillawme	#4 04/07/2008 - 12h29
Modérateur Hors ligne Biologie	Oui, ça m'intéresse. J'ai peut-être le niveau requis (encore heureux), mais j'ai pas fait de maths depuis plus d'un an... Même si je ne poste pas, je suis ce sujet. Sinon, je comprends mal la notation dans ton indice. La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)
mhdi	#5 04/07/2008 - 13h35
Hors ligne Courriel Mathématiques	Voilà, c'est édité. J'espère que c'est clair maintenant.
mhdi	#6 04/07/2008 - 19h58
Hors ligne Courriel Mathématiques	Indice 2: Spoiler Remarquez que le triangle est découpé en deux petits triangles. Donc que la surface du grand triangle=la surfaces des deux petits triangle. Ecrivez la surface des trois triangles en vous basant sur l'indice précédent. Allez! Un peu de bonne volonté!
General Vans	#7 04/07/2008 - 20h36
Codeur En ligne Courriel Mathématiques	Bon j'ai fait une espèce de schéma sur un bout de feuille donc c'est pas trop certain, surtout que ça me parait trop évident Donc déjà on a clairement BC = AB SpoilerDans le triangle AOB on a sin(BAO)/OB = sin(60)/AB et dans le triangle BOC on a sin(BCO)/OB = sin(60)/BC or clairement les angles BCO et BAO sont égaux. EDIT : j'ai écrit une erreur, je corrige juste après diner désolé
mhdi	#8 04/07/2008 - 20h54
Hors ligne Courriel Mathématiques	O grand General Vans n'as-tu pas honte de commettre une aussi grande erreur! Bon, on attend la correction!
General Vans	#9 04/07/2008 - 21h30
Codeur En ligne Courriel Mathématiques	Nan mais le peu écrit est correct
mhdi	#10 04/07/2008 - 21h41
Hors ligne Courriel Mathématiques	Non. On ne peut pas déduire que BC = AB. De même, BCO et BAO ne sont pas forcément égaux.
General Vans	#11 04/07/2008 - 21h49
Codeur En ligne Courriel Mathématiques	Oui en effet, sur mon schéma j'ai fait un triangle rectangle ... 1 sec je sors une vraie feuille, là ça rigole plus Ce message a été édité par General Vans le 04/07/2008 à 21h51.
General Vans	#12 04/07/2008 - 21h58
Codeur En ligne Courriel Mathématiques	Ok c'est bon Donc on a Aire(AOB) = AOBOsin(60) Aire(BOC) = COAOsin(60) Aire(AOC) = COAOsin(60) (le 60 vient de 180-120 pour la droite OC). Donc on a obtient COAO = AOBO+BOAO En divisant par COAO*BO on obtient ce qui est demandé. J'ai pas été super sur celui là, je vais en chercher un sympa à poser.
General Vans	#13 04/07/2008 - 22h09
Codeur En ligne Courriel Mathématiques	Deuxième exercice : Niveau de difficulté : * IJKL est un rectangle IJ=16 JK=12 IKM est un triangle rectangle en K tel que KM=15 Soit N le point d'intersection de (IM) et (KL) Déterminer l'aire de IKN Et un petit schéma vu que je suis sympa Ce message a été édité par General Vans le 04/07/2008 à 22h42.
mhdi	#14 04/07/2008 - 22h25
Hors ligne Courriel Mathématiques	Bravo ! Je vais réfléchir à ton exercice, il me parait assez sympa.
mhdi	#15 05/07/2008 - 00h40
Hors ligne Courriel Mathématiques	Bon, j'ai trouvé une méthode mais très bourrin. Je ne suis même pas sûr qu'elle soit juste. Je poste tout de même: Spoiler On pose H la projection orthogonale de K sur (IM). Il est trivial que : $2S_{KIM}=KH \times MI=IK \times KM$ Ainsi $KH=\frac{IK \times KM}{MI}$ D'autre part, NI²=NL²+LI²=(KL-KN)²+LI² () On a aussi $S_{INK}=sinIKN \times KN \times KI$ et $S_{NKM}=sinNKM \times NK \times KM$ Donc, $KN(sinIKN \times KI+sinNKM \times KM)=IK \times KM$ sinNKM=cosIKN => $KN(sinIKN \times KI+cosIKN \times KM)=IK \times KM$ => $KN=\frac{IK \times KM}{sinIKN \times KI+cosIKN \times KM}$ $cosIKN=\frac{LK}{KI}$ et $sinIKN=\frac{IL}{KI}$ On connait maintenant les mesures de [KL], de [LI] et de [KN]. Donc, et d'après (), on a la mesure de [NI] Finalement, la surface de IKN est : $\frac{KH \times NI}{2}$ Et puisqu'on a KH et NI, on peut calculer la surface de IKN