Hypo-thèses - Trigo développemnt en série : radian

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RSS > Trigo développemnt en série : radian, et pourquoi pas degré ?

RévoX	#1 04/07/2008 - 09h45
Administrateur Hors ligne Courriel Site Web Physique	Bonjour, beaucoup d'entre nous savent qu'on peut développer le sinus et le cosinus en série : $Posted Image$ $Posted Image$ ce que je me demande c'est pourquoi l'angle doit être exprimé en radian car la série de Taylor n'utilise que de simples dérivées et la dérivée ne dépend pas du fait qu'on soit en radian ou en degré. Merci Ernesto (dit Che) Guevara "Tous les jours les gens s'arrangent les cheveux, pourquoi pas le coeur ?"
Meianki	#2 04/07/2008 - 11h12
Hors ligne Mathématiques	ça c'est à cause de la définition du cos et du sin... sin(90) c'est pas 1... Les calculatrices ont des "modes" degré ou radian qui fait qu'elle peuvent trouver 1 pour sin(90), mais le fait est que les fonctions cos et sin sont définies pour des valeurs en radian!
RévoX	#3 04/07/2008 - 13h02
Administrateur Hors ligne Courriel Site Web Physique	Oui merci, mais ça je le savais Ce que je demande c'est une approche plus mathématiques, plus rigoureuse du "pourquoi ça marche en radian et pourquoi ça ne marcherait pas en degrés (ou toute autre mesure d'angle)" Ernesto (dit Che) Guevara "Tous les jours les gens s'arrangent les cheveux, pourquoi pas le coeur ?"
General Vans	#4 04/07/2008 - 20h14
Codeur Hors ligne Courriel Mathématiques	Parce que le sinus et le cosinus sont définies par rapport à la longueur du petit arc du cercle trigonométrique qui ne peut pas s'exprimer autrement qu'en radiant, auquel cas il vaut αR. Donc c'est comme ça et pas autrement qu'on peut définir sinus et cosinus, par contre je me demande toujours ce qu'est la définition mathématiquement rigoureuse du cosinus (sans passer par exp ce qui reviendrait à se demander d'où sort exp, bref on tournerait en rond).
NoHaR	#5 04/07/2008 - 20h24
Validateur Hors ligne Informatique	Lorsque tu changes de mesure d'angle pour utiliser $\cos$ avec des degrés par exemple, c'est équivalent à composer $\cos$ avec une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ . En gros, la fonction " $\cos$ en degrés" serait la fonction $\hat\cos$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\hat\cos x = \cos\left(f(x)\right)$ , avec $f(x) = \frac{\pi}{180}\times x$ . Si ensuite tu passes en série de Taylor, il vient, en faisant un petit changement de variable : $\hat\cos x = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{f(x)^{4n}}{(4n)!} - \frac{f(x)^{4n+2}}{(4n+2)!}\right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \left(\frac{\pi}{180}\right)^{4n}\quad\frac{x^{4n}}{(4n)!}\quad -\quad \left(\frac{\pi}{180}\right)^{4n+2}\quad\frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!}\right)$ . Il y a donc un coefficient réel en plus dans les termes, qui fait la différence avec le développement "en radians" Ce message a été édité par NoHaR le 04/07/2008 à 23h23. La facilité : c'est ne pas essayer de ne pas vivre en contradiction avec les idées que l'on ne défend pas...