Ce week-end j'ai participé à une compétition mathématique en ligne.
C'est une compétition qui déroule sur les forums du site MathLinks et qui est constituée de 3 manches. Après chacune d'elles, un classement des candidats est établi. Chaque manche se compose de 3 exercices, chacun noté sur 6, avec possibilité d'avoir 7/6 si solution élégante il y a.
Toutes les réponses doivent ne pas recourir à des connaissances "non-lycéennes"...l'idée est d'avantager la réflexion plutôt que les connaissances.
L'énoncé du 1er round a été divulgué le samedi à midi, et les copies ramassées le dimanche à minuit. Donc, un jour et demi pour résoudre les exercices, et les ecrire en LaTeX.

Bref, je vous ai amené du boulot mes p'tits gars :

OLIFORUM CONTEST - ROUND 1

Question 1
Prove that in the set there are elements such that any three of them are not in arithmetic progression.


Question 2
Let be a cyclic quadrilateral with and . Take points and on the sides and , respectively, so that and . Let be the midpoint of  . Prove that is a right angle.


Question 3
Let be three pairwise distinct real numbers such that . Prove that .




NB. In problem 1, we'll not accept merely numerical solutions..

Good work  :wink:

Voilà! A vos stylos, et bonne chance!
J'ose espérer recevoir tous vos essais, vos idées et vos solutions.
Pour ma part je pense avoir résolu tous les exercices. Néanmoins, sur l'exercice 1, j'ai utilisé une méthode très peu "classique", si je puis dire...donc, ça ne m'étonnerait pas que ça soit faux.

P.S : désolé pour les anglophobes.

Edit : Le LaTeX ne marche plus? oO

mgg @ 23/09/2008 - 00h27 a dit:

P.S : désolé pour les anglophobes.

C'est la seule chose que j'avais compris que c'était de l'anglais dans le texte. Le reste, bah l'exercie 2 et 3 m'ont pas l'air simple le 1...

Mais c'est un bon projet que ce système même si je suis pas sur que beaucoup de lycéens s'amusent à cela.

Très sympas ces exercices. Tu les as déjà résolus ?

Désolé pour LaTeX, j'avais oublié ce petit souci. Je remets ça en place dans les jours suivants.

Très sympas ces exercices. Tu les as déjà résolus ?

Oui, enfin je pense :

Pour ma part je pense avoir résolu tous les exercices. Néanmoins, sur l'exercice 1, j'ai utilisé une méthode très peu "classique", si je puis dire...donc, ça ne m'étonnerait pas que ça soit faux.

Mais c'est un bon projet que ce système même si je suis pas sur que beaucoup de lycéens s'amusent à cela

Il y en a, et même beaucoup!

Edit : Si vous voulez, je peux poster mes réponses.

Le classement du premier round a été divulgué. Et voici le classement des candidats avec plus de 7 points.

I- giove - (Oliforum) FULL SCORE -21 points

II- Akashnil - (Mathlinks) -21 points

III- silouan -(Mathlinks) - 21 points

IV- tomci0 - (Mathlinks) - 21 points



V-(ex-aequo) - sumita -(Mathlinks : 7/6/7) -20 points

julio14- (Oliforum: 7/7/6) - 20 points



VII- Kaymar1991 - (Mathlinks: 6/7/6) - 19 points


VIII-A Cave - (Yahoo: 7/7/2) - 16 points


IX- (ex-aequo)- Rigel - (Oliforum: 6/6/1) -13 points

mhdi - (Mathlinks: 0/6/7)- 13 points

algebert - (Oliforum: 0/7/6)- 13 points


XII- nicelbole - (Oliforum: 7/0/5) - 12 points

XIII- turcas(linker) - (Mathlinks: 0/7/3) - 10 points

XIV- dima_ukraine - (Mathlinks: 0/7/2) - 9 points

Voilà, j'ai été classé 9ème(mhdi). Je pense que je me suis pas mal débrouillé. Comme prévu, ma solution du premier exercice était fausse. Celle de la géométrie était correct, mais pas élégante(du tout!), donc seulement 6 points. Et finalement, on a jugé ma solution du troisième exercice assez élégante pour pouvoir lui attribuer 7 points.
La seule solution "élégante" envoyée pour l'exercice 2 utilise une transformation nommée "réflexion" -- je n'en avais jamais entendu parler :P
Pour l'exercice 1 je n'avais jamais eu affaire à ce genre d'exercice, donc j'ai improvisé.

Les 5 premiers devaient être très forts pour proposer une solution élégante à chaque question!

Félicitations !

mgg @ 23/09/2008 - 17h50 a dit:

La seule solution "élégante" envoyée pour l'exercice 2 utilise une transformation nommée "réflexion" -- je n'en avais jamais entendu parler :P

Une réflexion c'est pas une symétrie axiale ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9flexion_(math%C3%A9matiques)

Je ne sais pas, Wikipedia dit :

Plus généralement, en géométrie euclidienne, une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan, c'est-à-dire à un sous-espace de codimension 1.

hyperplan? sous-espace de codimension 1? oO

Voici la solution dite élégante :

Let $A'$ be the reflection of the point $A$ through the point $M$. Then quadrilateral $AXA'Y$ is a parallelogram since its diagonals bisects each other. Therefore $YA' = AX = CD$ and $YA' \parallel AX$. It follows that $\angle CYA' = 180^{\circ} - \angle ABC = \angle ADC$ since quadrilateral $ABCD$ is cyclic. The given condition $CY = AD$ implies that triangles $CYA'$ and $ADC$ are congruent (Side - Angle - Side). It means that $CA' = CA$ and the triangle $ACA'$ is isosceles. Since $AM = MA'$ it follows that $CM \perp AM$ and the proof is finished.

La symétrie axiale n'est pas rapport à un point, si?

symétrie axiale = symétrie par rapport à un axe

Tout est dans le nom ...

Justement, ce passage m'évoque une symétrie axiale.

Wikipedia a dit:

On appelle réflexion du plan euclidien, qu'il soit vectoriel ou affine, toute symétrie orthogonale par rapport à une droite de ce plan (droite vectorielle s'il s'agit d'un plan vectoriel euclidien).

azerty @ 23/09/2008 - 18h28 a dit:

symétrie axiale = symétrie par rapport à un axe

Tout est dans le nom ...

Je le savais t'inquiètes

Dans la solution, il parle de symétrie centrale.

Un hyperplan est un sous espace vectoriel de dimension n-1.
Concrètement c'est une généralisation de la géométrie à la dimension n.

Par exemple en dimension 2 les espaces vectoriels sont des plans, et les hyperplans des droites (dimension 1).

Donc en dimension 1 une réflexion est une symétrie centrale (le point O est le seul espace vectoriel de dimension 0) , en dimension 2 une c'est une symétrie axiale...

Après il y a des tas de choses à dire sur les hyperplans mais ici c'est en dimension 2 donc pas de soucis. ça reste intuitif.


J'aimerai bien faire le 1 mais je ne comprends pas ce qu'est une arithmetic progression (suite arithmétique ??).

En tout cas n'hésite pas à poster le round 2 !

Oui, suite arithmétique. Et merci pour les explications.

Pour les intéressés, voici ma solution pour les 3 exercices : solution[.doc]

Il est interdit de se moquer de ma solution du 1er exercice !

P.S : Le 2ème round aura lieu le 4 octobre si je me rappelle bien.
P.S2 : N'importe qui peut participer au deuxième round, à condition de rédiger en anglais. Vous voulez un lien?

Je dois être un peu idiot mais je comprends toujours pas l'énoncé du 1.

En gros, il faut trouver que dans l'ensemble il y a éléments tels qu'on ne peut pas en trouver trois qui s'écrivent a-r;a;a+r parmi ces

J'espère que c'est clair.