Hypo-thèses - résolution graphique d'une équation

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mhdi	#1 25/09/2008 - 23h10
Hors ligne Courriel Mathématiques	Re-salut à tous, Il y a à peu près un an de cela, j'avais vu sur un forum qu'on pouvait résoudre une équation graphiquement. Bien entendu résoudre une équation simple graphiquement n'est pas compliqué, mais la méthode utilisée était de dessiner deux courbes et de désigner leur point d'intersection comme solution de l'équation. Si quelqu'un pouvait m'expliquer... Un exemple? P.S:Si je me rappelle bien l'équation résolue était $x=12+\sqrt{12+x}$
Guillawme	#2 26/09/2008 - 10h05
Modérateur Hors ligne Biologie	Un exemple classique de première, c'est de résoudre une équation du genre P1(x)=P2(x), avec P1 et P2 deux polynômes de second degré. Je ne sais pas si tu as vu ça, enfin c'est assez clair qu'on "voit" les solutions (elles correspondent aux points d'intersection des deux courbes bien sûr) directement avec les représentations graphiques des fonctions, qui sont dans ce cas deux paraboles. Je n'ai pas d'illustration, désolé. Et pour ton équation j'ai la flemme de chercher (mais je dois être capable de le faire, ça ne semble pas plus difficile que des choses de terminale). La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)
General Vans	#3 26/09/2008 - 14h30
Codeur Hors ligne Courriel Mathématiques	Peut être que tu parles d'approximation des zéros d'une fonction par l'algorithme de Newton. http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_newton#La_m.C3.A9thode Parce que sinon je ne vois pas trop, de toute façon c'est toujours dans l'approximation si c'est graphiquement. Hum... maths ou chimie... mon cœur balance !
mhdi	#4 26/09/2008 - 15h07
Hors ligne Courriel Mathématiques	@Guillawme : Tu peux me donner les équations de chaque courbe pour résoudre x=12+\sqrt{12+x}? @General Vans : Non, je ne parle pas de cela... :S Si je comprend bien, il y a très peu de chance de résoudre graphiquement une équation?
General Vans	#5 26/09/2008 - 15h47
Codeur Hors ligne Courriel Mathématiques	Tu peux toujours, par exemple ici tu trace la droite y=x (première bissectrice) et la courbe $\sqrt{12+x}+12$ et tu fais l'intersection. Mais ça ne sera pas précis. Hum... maths ou chimie... mon cœur balance !
mhdi	#6 26/09/2008 - 18h59
Hors ligne Courriel Mathématiques	Ok! Merci à tous!
MarbolanGos	#7 26/09/2008 - 19h11
Hors ligne Chimie	Je sais pas si c'est une bonne idée mais on peut dire que la fonction : $x - 12 = 12\sqrt{12+x}$ (pour la suite flemme de mettre le code tex les $ c'est plus simple dans un code normal est définie sur [-12,+inf[ Pour -12 =< x < 0 : (x - 12)^2 = 144*(12+x) Ca c'est solvable Et pareil pour l'autre intervalle. Enfin je dois avoir fait une erreur de signe comme d'habitude et si ça se trouve on n'a pas le droit de le faire. [edit] Ah mince c'était graphique ce qu'il fallait faire... Sinon j'ai donné ça à manger à la TI92+ et elle donne : x = 12(2\sqrt{15}+7) \approx 176.952 Donc en s'aidant d'un graphique on peut dire que la solution est supérieure à zéro et ne pas découper en plusieurs intervalles... Ce message a été édité par MarbolanGos le 26/09/2008 à 19h14.
Guillawme	#8 26/09/2008 - 21h47
Modérateur Hors ligne Biologie	Euh tu n'as pas utilisé la même équation MarbolanGos. mhdi @ 26/09/2008 - 15h07 a dit: @Guillawme : Tu peux me donner les équations de chaque courbe pour résoudre $x=12+\sqrt{12+x}$ ? La sienne c'était $x=12+\sqrt{12+x}$ . Soit $x-12=\sqrt{12+x}$ . Bref, après pour faire graphiquement il suffit bien de tracer les représentations graphiques de $y=x-12$ et $y=\sqrt{12+x}$ , puis de trouver les abscisses (i.e. les valeurs de x) des points d'intersection (i.e. égalité des deux fonctions, donc des deux membres de l'équation du début). Et comme tu l'indiques, la résolution graphique est rarement précise (à moins d'avoir le bol de tomber sur une solution entière) mais est bien pratique pour pas partir dans des trucs inutiles lors de la (tentative de) résolution numérique. Comme je suis plutôt bien lancé je m'y essaye tiens (après deux ans sans faire de maths je ne réponds de rien, j'ai peut-être fait des petites fautes...). Résolvons l'équation $x=12+\sqrt{12+x}$ . $x=12+\sqrt{12+x} \Leftrightarrow x-12=\sqrt{12+x}$ La ou les solution(s) appartiennent à $[-12;+\infty[$ (du fait de la racine, qui n'est pas définie pour d'autres valeurs de x). $x-12=\sqrt{12+x} \Leftrightarrow (x-12)^2=12+x \\<br /> \Leftrightarrow x^2-24x+144=12+x \\<br /> \Leftrightarrow x^2-25x+132=0$ On obtient un polynôme de second degré ( $ax^2+bx+c$ ) : à partir de là c'est facile (c'était déjà pas bien dur avant). Calcul du discriminant : $\Delta=b^2-4ac \\<br /> \Delta=(-25)^2-4 \times 1 \times 132 \\<br /> \Delta=97$ Il est positif, donc on a deux solutions dans $\mathbb{R}$ : $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-25)-\sqrt{\97}}{2 \times 1} \approx 7,58$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-25)+\sqrt{\97}}{2 \times 1} \approx 17,4$ La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)
General Vans	#9 26/09/2008 - 22h14
Codeur Hors ligne Courriel Mathématiques	Hop hop hop ! L'intersection d'une droite et d'une fonction racine a peu de chance de donner 2 solutions ! Si tu imagines un peu les 2 courbes, y'en a une qui part de -12 et qui va tout droit et l'autre qui part de +12 et qui penche. Donc une des tes 2 solutions est probablement fausse et c'est probablement 7.58 (en fait c'est surtout que 7.58 -12 est un peu négatif ce qui est assez génant pour une racine carré ) En fait ton erreur est la suivante, tu as mis au carré la relation ce qui revient à résoudre sur R alors que l'ensemble de définition est [12;l'infini]. Conclusion, toujours vérifier la cohérence !! (et oui c'est moi qui dit ça ) Hum... maths ou chimie... mon cœur balance !
Guillawme	#10 26/09/2008 - 22h27
Modérateur Hors ligne Biologie	Bien vu. Je dois dire que j'ai absolument pas pensé à vérifier que mes solutions appartenaient à l'intervalle que j'ai indiqué au début... Par contre en mettant l'équation au carré je me suis demandé si ça pouvait avoir des conséquences, et comme je ne m'en rappelais plus vraiment (depuis le lycée ) j'ai continué quand même. Le fait d'élever au carré est-il vraiment une erreur en fait ? En somme j'ai "juste" oublié de conclure en indiquant qu'une des solutions ne pouvait pas l'être puisqu'elle n'appartient pas à l'intervalle de définition (ou "comment se rattraper maladroitement tout-ça-pour-des-maths" ). La science nous donne un moyen de parler de ce que nous ignorons. Cuénot (1866 - 1951)
mhdi	#11 27/09/2008 - 01h05
Hors ligne Courriel Mathématiques	Non, c'était plutôt : $x=12-\sqrt{12-\sqrt{x}}$ Et là, c'est nettement plus difficile. XD Ce message a été édité par mhdi le 27/09/2008 à 01h05.
MarbolanGos	#12 27/09/2008 - 10h02
Hors ligne Chimie	Guillawme @ 26/09/2008 - 21h47 a dit: Euh tu n'as pas utilisé la même équation MarbolanGos. Ah ouais c'est typique de moi ça... Bon bah je vais mettre ça sous le coup de la fatigue du vendredi soir [edit]Si c'est la nouvelle équation c'est paril la méthode de mettre au carré marche en faisant bien attention à l'ensemble de définition et en ne se plantant pas dans l'équation de départ... Ce message a été édité par MarbolanGos le 27/09/2008 à 10h04.
mhdi	#13 27/09/2008 - 23h14
Hors ligne Courriel Mathématiques	[edit]Si c'est la nouvelle équation c'est paril la méthode de mettre au carré marche en faisant bien attention à l'ensemble de définition et en ne se plantant pas dans l'équation de départ... Je ne pense pas...essaie pour voir
General Vans	#14 28/09/2008 - 00h12
Codeur Hors ligne Courriel Mathématiques	En fait si tu divises par 12 sous la racine tu peux faire un DL en 0 (car x<12) c'est un peu à la physicienne mais tu auras une bonne idée du résultat. $\sqrt{1-\sqrt{\frac{x}{12^2}}}= 1-\frac{\sqrt{x}}{24} +o(\sqrt{x})=\frac{x-12}{\sqrt{12}}$ Ce message a été édité par General Vans le 28/09/2008 à 00h15. Hum... maths ou chimie... mon cœur balance !
mhdi	#15 28/09/2008 - 14h19
Hors ligne Courriel Mathématiques	@General Vans : Ca laisse à désirer ta méthode... :S Alors, voici la solution que j'ai pu trouver pour le problème : Posons $t=12-\sqrt{x}$ . On aura donc le système suivant : $Posted Image$ $\Rightarrow t-x=\sqrt{t}-\sqrt{x}$ $\Rightarrow (\sqrt{t}-\sqrt{x})(\sqrt{t}-\sqrt{x})=(\sqrt{t}-\sqrt{x})$ Il suffit donc de résoudre les équation $X^2+X-1=0$ et $-X^2+X+11=0$ Ce message a été édité par mhdi le 28/09/2008 à 14h20.