Bonjour,

Alors voila mon problème,

Je sais que Card(A U B ) = Card(A) + Card(B) - Card(A inter B )

Mais lorsque j'ai une union de plus de deux intervalles ça se corse

Grace à cette page : http://web.tri-isys.com/egtan/excursions/probbasics.html

On trouve la formule pour l'union de 3 et 4 ensembles mais comme je ne sais pas comment il on fait pour calculer ça je n'arrive pas complètement à trouver la formule générale

En fait il me suffirait d'avoir la formule pour l'union de 5 ensemble pour comprendre le mécanisme

Donc je dirais que ( je sais c'est un gros morceau )

Card(A U B U C U D U E) = Card(A) + Card(B) + Card(C) + Card(D) + Card(E) - Card(A inter B ) - Card(A inter C) - Card(A inter D) - Card(A inter E) - Card(B inter C) - Card(B inter D) - Card(B inter E) - Card(C inter D) - Card(C inter E) - Card(D inter E) + Card(A inter B inter C) + Card(A inter B inter D) + Card(A inter B inter E) + Card(B inter C inter D) + Card(B inter C inter E) + Card(C inter D inter E) - Card(A inter B inter C inter D) - Card(A inter B inter C inter E) - Card(B inter C inter D inter E) + Card(A inter B inter C inter D inter E)

En fait j'aimerais juste savoir si cette égalité est juste et éventuellement une écriture un peu plus formelle qui permet d'exprimer une égalité de ce genre dans le cas général

Card(AUB) = Card(A) + Card(B) - Card(A∩B)

Card(CUD) = Card(C) + Card(D) - Card(C∩D)

Card(CUDUE) = Card(C) + Card(D) - Card(C∩D) + Card(E)- Card((CUD)∩E)

Donc

Card (AUBUCUDUE) = Card(A) + Card(B) - Card(A∩B) + Card(C) + Card(D) - Card(C∩D) + Card(E)- Card((CUD)∩E) - Card((AUB)∩(CUDUE))


Ce qui m'a l'air un peu moins violent que ton truc

Remarque : ∩ est distributif sur U
(AUB)∩C = (A∩C)U(B∩C)

Donc (AUB)∩(CUDUE) = (A∩C)U(A∩D)U(A∩E)U(B∩C)U(B∩D)U(B∩E)


Bref t'es pas arrivé... a mon avis il n'existe pas de formule toute faite mais peut être que tu peux faire ton exo différemment...

oué je vois bien ce que tu as fais

Mais le problème c'est que tu mélanges union et inter

Or personnellement je n'ai accès qu'aux inter pour avoir l'union

Donc voila pourquoi mon truc est un peu compliqué

C'est quoi ton problème au fait ?
Parce que c'est quand même pas fréquent des trucs aussi bourrain...

Mon but c'est de trouver un union de n ensemble ( 1 <= n <= 12 )

Je dois poser autant de questions qu'il le faut pour trouver la réponse seulement avec des intersections ( ou pas pour un ensemble seul )

Par exemple n = 2,

J'ai le droit de poser comme question : Card(A), Card(B) et Card(A inter B )

Il me suffit ensuite de donner le résultat, ici pas très dur mais pour n = 12 c'est déjà plus compliquer


Edit: c'est bon j'ai trouvé, en fait ce que je cherchais c'était la formule d'exclusion-inclusion, ou formule de Sylvester

Bonjour,

Tout d'abord merci: je ne connaissais pas ce problème et je me suis bien amusé. Un bon élève de terminale en math peut le résoudre.

Etape 1: étudier. Regardons ce qui se passe dans le cas de 2, 3 et 4 ensembles. Dans tous les cas il y a manifestement une alternance entre les "+" et les "-". Etudions chaque groupe. Nous avons d'un côté un ensemble d'ensembles dont on effectue la réunion et de l'autre nous avons l'intersection de parties de cet ensemble. Chaque groupe est caractérisé par un nombre d'ensemble. Dans le premier nous avons tous les ensembles à 1 élément. Dans le suivant tous les ensembles à deux éléments, etc...

Etape 2: trouver une méthode de démonstration. La récurence saute aux yeux! Après un gros travail conceptuel et de bonnes notations ça marche. Je vous le laisse à titre d'exercice.

Etape 3: trouver une méthode de démonstration directe sans récurence. Cela devient difficile pour un élève de terminable. En considérant les fonctions caractéristiques le problème devient évident. Toute ma considération à celui qui trouvera la démonstration.

Après quelques recherches, à ma grande honte, c'est une formule connue ... sous le nom de formule du crible: interrogez des profs de classe prépa!