Mardi 07/10/2008,

Les ensembles infinis

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Je poste ici une partie de mon cours sur les ensembles infinis (ou transfinis).
Je trouve ce sujet assez intéressant car il touche aux infinis et en général on est assez surpris par certains résultats.

La théorie des ensembles a été fondée par le mathématicien allemand Georg Cantor (1845-1918), un des principes de bases de la théorie est la notion de cardinal d'un ensemble. Pour un ensemble fini, ceci ne présente pas de difficulté, on appelle cardinal de l'ensemble le nombre de ses éléments et deux ensembles ont même cardinal s'ils ont le même nombre d'élément.

De manière générale on dit que deux ensembles (finis ou infinis) ont même cardinal (ou sont équipotents) s'il existe une bijection d'un ensemble sur l'autre. Clairement ceci définit une relation d'équivalence entre les ensembles, on peut donc associer à chaque classe d'ensemble de même taille un nombre appelé cardinal de l'ensemble. Pour les ensembles finis on peut obtenir les cardinaux 0,1,2,...,n.
0 est utilisé pour l'ensemble vide.

On peut remarquer qu'un sous-ensemble strict d'un ensemble fini A a un cardinal inférieur strict à celui de l'ensemble A. Ceci n'est plus valable dès que l'on parle d'ensemble infini. L'ensemble infini le plus simple et le plus intuitif est l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ , $\mathbb{N}$ peut être mis en bijection avec $\mathbb{N}*$ par l'application qui a n associe n+1, ainsi $\mathbb{N}$ et $\mathbb{N}*$ ont même cardinal; on peut prouver de même que $\mathbb{N}$ et $2\mathbb{N}$ (ensemble des nombres pairs) sont de même cardinal! Alors qu'intuitivement on aurait tendances à dire que ce cardinal est 2 fois moins important.

On caractérise en fait ainsi les ensembles infinis : ce sont les ensembles qui ont même cardinal qu'un de leur sous-ensemble strict.

On dit qu'un ensemble A qui a même cardinal que $\mathbb{N}$ est dénombrable. Concrètement cela vut dire qu'on peut lister les éléments de A sous la forme $\{a_0, a_1,..., a_n,...\}$ . On peut construire une bijection entre $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ (par exemple en associant à un nombre pair un nombre positif et à un nombre impair un nombre négatif), et même entre $\mathbb{N}$ et $\mathbb{N}^2$ , ces ensembles sont donc aussi dénombrables et de même cardinal que $\mathbb{N}$ . Cantor a développé un ordre sur les cardinaux, qui généralise clui des ensembles finis, de la forme 0<1<2<...<n<...<Card( $\mathbb{N}$ )<...

Le cardinale de $\mathbb{N}$ ce note $\aleph_0$ (se prononce aleph zéro, c'est la première lettre de l'alphabet hébreu). Démontrons que tout ensemble infini à un cardinal supérieur ou égal à $\aleph_0$ : soit A un ensemble infini, A a donc au moins un élément a₀ et l'ensemble A\{a₀} est non cide puisque A est infini, donc A\{a₀} continent un élément a₁, en examinant A\{a₀, a₁} on a de même l'existence d'un élément a₂, et en continuant ce processus on peut trouver un ensemble dénombrable $\{a_0, a_1,..., a_n,...\}$ inclus dans A; on dit que $\aleph_0$ <= Card A. Autrement dit les ensembles dénombrables sont les plus petits ensembles infinis et $\aleph_0$ est le plus petit cardinal infini.

Je continuerai par la suite, n'hésitez pas à poster vos avis/réactions/opinions etc...

Je précise que ce cours a été réalisé par E Goldsztejn

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