Mardi 07/10/2008,

La géométrie projective

Sommaire Nota
Introduction
Projections et coordonnées homogènes
Droites et points : deux notions duales
   Coordonnées homogènes d'une droite
   Appartenances et intersections
   Dualité
Aperçu global de la géométrie projective

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Nota

Ce post est un "brouillon" dans le sens où il sera écrit en plusieurs fois.

Il s'agit d'un petit "cours" de découverte et d'initiation à la géométrie projective : un ensemble théorique très utilisé dans le domaine de la Vision par Ordinateur (entre autres), puisque son but est de décrire les interactions entre le monde réel (en 3 dimensions) et sa projection sur un plan (celui de la rétine ou d'une image, par exemple).

Si vous désirez aller plus loin, je vous invite à découvrir le livre de R. Hartley et A. Zisserman : "Multiple View Geometry in Computer Vision" (Cambridge University Press), qui traite des géométries projective et épipolaire, ainsi que de leurs applications à la vision par ordinateur.

Les vérifications des propriétés et théorèmes qui sont énoncés ici sont laissées au lecteur en exercice.

Introduction

Qu'est-ce que l'horizon ?
Géométriquement parlant, je veux dire : comment définiriez-vous l'horizon ?

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source photo : sharkdesign.com

Si l'on part sur des remarques simples, on pourrait le caractériser comme ceci :

[*]Il s'agit d'une droite.
[*]Il est situé à une distance infinie de celui qui l'observe.
[*]Toutes les droites "du sol" ou "du ciel" qui sont parallèles entre elles s'y croisent (les bords d'une route, les rails d'un train, la trainée d'un avion...).

La dernière remarque nous montre bien que, selon les concepts de la géométrie Euclidienne, l'horizon n'a en fait aucune raison d'exister, puisque, "euclidiennement parlant", et par définition, deux droites parallèles sont appelées ainsi car elles ne se coupent jamais.

Et pourtant, il existe, puisque le soleil s'y couche !

Cela nous montre clairement que nous ne voyons pas l'espace qui nous environne en perspective cavalière, et que notre perception du monde obéit à des lois géométriques non-euclidiennes.

A partir de ces quelques observations, nous pouvons formuler la première de ces lois :
Deux droites sont toujours sécantes en un point, quitte à ce que celui-ci se trouve "à l'infini".

Sur une image (ce qui inclut les images du plan rétinien), on peut identifier très intuitivement quelques-uns de ces points "à l'infini". En particulier, on sait reconnaître ceux qui composent la ligne d'horizon (puisque nous leur avons donné un nom !) : ce sont les points en lesquels se croisent les "droites parallèles" du sol.
Nous venons donc de mettre le doigt sur les bases d'une géométrie naturelle : celle au moyen de laquelle, sans le savoir, nous raisonnons constamment pour situer les objets dans notre environnement.

Il s'agit de la géométrie projective. Nous allons la découvrir ensemble.

Projections et coordonnées homogènes

Tout d'abord, plaçons-nous dans une situation que décrit la géométrie projective.
Soit $\mathcal{P}$ le plan de $\mathbb{R}^3$ d'équation $z=1$ .

Nous allons étudier les projections des objets de $\mathbb{R}^3$ sur $\mathcal{P}$ , selon des rayons qui passent tous par l'origine du repère 3D canonique $\left(O; x, y, z\right)$ (voir la Fig. 1).

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Fig. 1 : Situation projective dans $\mathbb{R}^3$ .

Intéressons-nous maintenant aux points de $\mathcal{P}$ .
Par définition, on a :
$\mathcal{P}=\left\lbrace \left. \mathbf{m} = \begin{pmatrix}x_{\mathbf{m}} \\ y_{\mathbf{m}} \\ z_{\mathbf{m}}\end{pmatrix} \right| z_{\mathbf{m}} = 1\right\rbrace .$
Il est alors facile de démontrer la propriété suivante :

Propriété 1 : Soit $\mathbf{M} = \begin{pmatrix}X, & Y, & Z\end{pmatrix}^t \; \in \mathbb{R}^3 \setminus \left\lbrace O \right\rbrace$ .
Le point $\mathbf{m}$ est le projeté de $\mathbf{M}$ sur $\mathcal{P}$ selon la droite $\left( O\mathbf{M} \right)$ si, et seulement si :
$\mathbf{m} = \begin{pmatrix}\frac{X}{Z}, & \frac{Y}{Z} ,& 1\end{pmatrix}^t .$

Projectivement parlant, les points $\mathbf{M}$ et $\mathbf{m}$ sont équivalents, car ils appartiennent au même "rayon de projection".
C'est pourquoi les coordonnées de tous les points de l'espace (hormis $O$ ) seront ramenées aux coordonnées de leur projeté sur $\mathcal{P}$ , appelées coordonnées homogènes.

On notera, au passage, l'expression générale d'un rayon issu de $\mathbf{m}$ :
$\left(O\mathbf{m}\right) = \left\lbrace \left. M = \begin{pmatrix}k\, x_{\mathbf{m}}\\ k\, y_{\mathbf{m}}\\ k\end{pmatrix} \right| k \in \mathbb{R}^* \right\rbrace.$

Droites et points : deux notions duales

Coordonnées homogènes d'une droite

Dans le plan $\mathbb{R}^2$ , une droite $\mathbf{d}$ est totalement décrite par l'équation $ax + by + c = 0$ . Dans ce cas, une représentation unique de $\mathbf{d}$ dans le plan projectif est simplement le vecteur $\begin{pmatrix}a,& b,& c\end{pmatrix}^t$ .

Ce vecteur est composé des coordonnées homogènes de $\mathbf{d}$ .

Si l'on s'en réfère à la Fig. 1, on remarque qu'une droite du plan $\mathcal{P}$ est en fait la projection de toutes les droites du plan de $\mathbb{R}^3$ (dont une portion est grisée sur la figure) défini par l'équation $(ka)x + (kb)y + (kc) = 0$ , avec $k\in\mathbb{R}^*$ .
On notera l'analogie entre la forme générale du plan issu d'une droite de $\mathcal{P}$ et celle du rayon issu d'un point de $\mathcal{P}$ .

Appartenances et intersections

Grâce aux coordonnées homogènes, les relations entre points et droites en géométrie projective s'expriment toutes par relations entre vecteurs faisant intervenir le produit scalaire (noté $\cdot$ ), et le produit vectoriel (noté $\wedge$ ).
Les démonstrations des théorèmes qui suivent sont laissées en exercice, car elles sont une bonne initiation aux mécanismes de la géométrie projective. Les corrections figureront dans le sujet associé à cet article sur le forum.

Les points et droites sont tous exprimés en coordonnées homogènes.

Théorème 1 : Le point $\mathbf{m}$ appartient à la droite $\mathbf{d}$ si, et seulement si $\mathbf{m}^t\cdot\mathbf{d} = 0$ .

Théorème 2 : L'intersection des droites $\mathbf{d}_1$ et $\mathbf{d}_2$ est le point $\mathbf{m} = \mathbf{d}_1 \wedge \mathbf{d}_2.$

Théorème 3 : La droite passant par les points $\mathbf{m}_1$ et $\mathbf{m}_2$ est $\mathbf{d} = \mathbf{m}_1 \wedge \mathbf{m}_2.$

Dualité

Comme on peut le remarquer, les points et les droites peuvent être intervertis dans les théorèmes 2 et 3. Cela illustre le fait que les notions de point et de droite en géométrie projective sont duales. Ainsi, toute propriété concernant les points, sera aussi vérifiée pour les droites, et inversement.

Aperçu global de la géométrie projective

En géométrie projective, on s'intéressera presque uniquement aux intersections de droites, et aux appartenances de points à des droites.
Les notions de "distances", de "parallélisme", et de "mesures d'angles" n'ont plus cours.

On pourra aussi étudier les projections de coniques (hyperboles, paraboles, cercles et ellipses). On considèrera dans ce cas l'appartenance d'un point à une conique, et la notion de "droite tangente à la courbe en un point".

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